Prove que R não é enumerável;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que o conjunto dos números reais, representado por R, não é enumerável. Isso faz parte da matéria de teoria dos conjuntos, especificamente sobre o que significa um conjunto ser enumerável ou não. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um conjunto enumerável e como podemos demonstrar que R não se enquadra nessa categoria.

Passo 2

Primeiro, vamos esclarecer o que significa um conjunto ser enumerável. Um conjunto é enumerável se seus elementos podem ser colocados em uma lista numerada, ou seja, se existe uma correspondência um a um entre os elementos do conjunto e os números naturais . Exemplos de conjuntos enumeráveis são os números naturais, inteiros e racionais.

Passo 3

Agora, queremos mostrar que R não é enumerável, ou seja, não dá para fazer essa lista ordenada completa de todos os números reais. Para isso, vamos usar o famoso argumento da diagonal de Cantor, que é uma técnica para demonstrar a não enumerabilidade de certos conjuntos.

Passo 4

Vamos supor, por uma questão de lógica, que R seria enumerável. Isso significaria que podemos listar todos os números reais em uma sequência infinita: . Cada número real pode ser representado por uma expansão decimal infinita, como , , e assim por diante.

Passo 5

O próximo passo é construir um novo número real que não está na lista suposta. Para isso, vamos criar um número s cuja expansão decimal difere da n-ésima casa decimal do n-ésimo número da lista. Por exemplo, se o primeiro número na lista tem 3 na primeira casa decimal, colocamos 4 na primeira casa de s. Se o segundo número tem 5 na segunda casa, colocamos 6 na segunda casa de s, e assim por diante.

Passo 6

Esse número s que criamos é diferente de todos os números da lista original em pelo menos uma casa decimal. Isso significa que s não está na lista, o que é uma contradição, já que assumimos que a lista continha todos os números reais. Portanto, nossa suposição inicial de que R é enumerável está errada.

Resposta

Assim, concluímos que o conjunto dos números reais R não é enumerável.

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