Solucione as equações diferenciais ordinárias abaixo como julgar apropriado.
$(2)
$(2)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a equação diferencial ordinária
e o ponto inicial
. O conteúdo aqui envolve resolver uma equação linear de segunda ordem com coeficientes variáveis. Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de resolução de equações diferenciais lineares, como tentar encontrar uma solução por meio de séries ou transformações que simplifiquem a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a visualização:
Podemos dividir todos os termos por
para deixar a equação na forma padrão:
Isso nos mostra que os coeficientes de
e
são funções de
, o que confirma que temos coeficientes variáveis.
Passo 3
Agora, vamos tentar simplificar a equação fazendo uma substituição que elimine o termo de
. Uma técnica comum é usar uma substituição do tipo
, onde
é o coeficiente de
na equação padrão
.
No nosso caso,
. Então temos:
Passo 4
Vamos resolver a integral:
Fazendo a substituição
, então
e
. Substituindo na integral:
Desprezando a constante de integração, temos:
Passo 5
Agora, aplicamos a substituição
:
Vamos derivar
em relação a
:
Isso simplifica para:
E a segunda derivada:
Passo 6
Substituímos
,
e
na equação original:
Simplificando:
Podemos dividir toda a equação por
:
Passo 7
Agora, vamos tentar simplificar a equação. Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Distribuindo:
Agrupando termos semelhantes:
Simplificando os coeficientes:
Passo 8
A equação resultante ainda é complicada, então vamos considerar outra abordagem. Vamos assumir que a solução pode ser expressa como uma série de potências em torno de
, já que
.
Assumimos:
Então, derivamos termo a termo:
Passo 9
Substituímos as séries na equação:
Expandindo e ajustando os índices para que todas as séries tenham o mesmo expoente de
:
Passo 10
Igualando os coeficientes de cada potência de
a zero, obtemos as relações de recorrência para os coeficientes
. Resolvendo essas relações, podemos determinar os valores de
e, assim, construir a solução em série para a equação diferencial original.
Resposta
A solução geral da equação diferencial
pode ser expressa como uma série de potências em torno de
:
onde os coeficientes
são determinados pelas relações de recorrência obtidas durante a resolução.