Prove que:
(d)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa provar que a soma infinita de para indo de 1 ao infinito é igual a 1. Isso envolve conceitos de séries infinitas, especificamente somas de termos que envolvem potências e múltiplos de . Para resolver isso, vamos precisar usar algumas fórmulas de séries geométricas e suas variações.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a expressão em duas partes para facilitar a soma:
Agora, a soma original pode ser escrita como a diferença de duas somas:

Passo 3

Vamos resolver cada uma dessas somas separadamente. Primeiro, a soma geométrica básica:
Sabemos que a soma de uma série geométrica infinita é igual a quando . Aqui, e , então:

Passo 4

Agora, vamos resolver a soma que envolve :
Existe uma fórmula para esse tipo de soma onde cada termo é :
Aplicando essa fórmula com :

Passo 5

Agora que temos os valores das duas somas separadas, vamos substituí-los de volta na expressão original:

Resposta

Portanto, .

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(34)
Prove que:
(b)
O custo da matéria prima (pão e outros insumos) para a fabricação de um certo tipo de sanduíche custa 3 reais por sanduíche, sem levar em conta a aquisição de uma sanduicheira, que custa 40 reais. O custo médio de fabricação de um certo número de sanduíches é igual ao custo de produção dividido pela quantidade de sanduíches:
(a) Expresse matematicamente o custo de produção em função do número de sanduíches produzidos
Mostre que, para qualquer valor de , temos: