Prove que:
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa provar que a soma infinita de
para
indo de 1 ao infinito é igual a 1. Isso envolve conceitos de séries infinitas, especificamente somas de termos que envolvem potências e múltiplos de
. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas fórmulas de séries geométricas e suas variações.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a expressão
em duas partes para facilitar a soma:
Agora, a soma original pode ser escrita como a diferença de duas somas:
Passo 3
Vamos resolver cada uma dessas somas separadamente. Primeiro, a soma geométrica básica:
Sabemos que a soma de uma série geométrica infinita
é igual a
quando
. Aqui,
e
, então:
Passo 4
Agora, vamos resolver a soma que envolve
:
Existe uma fórmula para esse tipo de soma onde cada termo é
:
Aplicando essa fórmula com
:
Passo 5
Agora que temos os valores das duas somas separadas, vamos substituí-los de volta na expressão original:
Resposta
Portanto,
.
Exercícios relacionados
(34)
Prove que:
(b)
(b)
O custo da matéria prima (pão e outros insumos) para a fabricação de um certo tipo de sanduíche custa 3 reais por sanduíche, sem levar em conta a aquisição de uma sanduicheira, que custa 40 reais. O custo médio de fabricação de um certo número de sanduíches é igual ao custo de produção dividido pela quantidade de sanduíches:
(a) Expresse matematicamente o custo de produção em função do número de sanduíches produzidos
(a) Expresse matematicamente o custo de produção em função do número de sanduíches produzidos
Mostre que, para qualquer valor de
, temos: