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Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente tem uma soma infinita:
Isso faz parte da matéria de Séries Infinitas. Vamos precisar entender como funciona o comportamento dos termos dessa série para saber se ela soma para um valor finito ou se cresce sem fim.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com cada termo da soma conforme fica maior. O termo geral da série é:
Queremos ver o que acontece com quando tende ao infinito. Vamos calcular o limite:
Sabemos que tende a zero quando cresce, porque qualquer número menor que 1 elevado a uma potência crescente vai para zero. Então:

Passo 3

Agora, lembra que para uma série infinita convergir, é necessário que o limite do termo geral seja zero. Se o limite for diferente de zero, a série não converge.
No nosso caso, o limite de é 1, que não é zero.

Resposta

A soma não converge; a série diverge para o infinito.

Exercícios relacionados

Prove que:
(b)
Se uma sequência infinita tal que . Mostre que .
Prove que:
(d)
O custo da matéria prima (pão e outros insumos) para a fabricação de um certo tipo de sanduíche custa 3 reais por sanduíche, sem levar em conta a aquisição de uma sanduicheira, que custa 40 reais. O custo médio de fabricação de um certo número de sanduíches é igual ao custo de produção dividido pela quantidade de sanduíches:
(a) Expresse matematicamente o custo de produção em função do número de sanduíches produzidos