Prove que:
(b)
(b)
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma soma infinita que alterna os numeradores entre 1 e 2, enquanto os denominadores são potências de 3. O conteúdo que vamos usar aqui é séries geométricas, que são somas de termos onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante. Para resolver, vamos precisar dividir a série em duas partes que são séries geométricas simples.
Passo 2
Primeiro, observamos a série original:
Perceba que os termos alternam entre ter numerador 1 e 2. Vamos separar essa série em duas séries distintas: uma com os numeradores 1 e outra com os numeradores 2.
Passo 3
Separando a série, temos:
Agora, identificamos duas séries geométricas onde cada uma tem uma razão comum.
Passo 4
Vamos analisar a primeira série:
Aqui, o primeiro termo
e a razão
.
A soma de uma série geométrica infinita é dada por:
Aplicando isso a
:
Passo 5
Agora, vamos analisar a segunda série:
Aqui, o primeiro termo
e a razão
.
Usando a mesma fórmula para séries geométricas:
Passo 6
Agora que temos as somas das duas séries separadas, podemos somá-las para obter a soma total da série original:
Para somar as frações, precisamos de denominadores iguais:
Resposta
A soma da série infinita é
.
Exercícios relacionados
Se
uma sequência infinita tal que
. Mostre que
.
Assinale V ou F, justificando suas respostas:
( ) Seja a sequência de somas parciais de
. Se
é convergente, então
.
( ) Seja
(34)
Prove que:
(d)
(d)