Prove que:
(b)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma soma infinita que alterna os numeradores entre 1 e 2, enquanto os denominadores são potências de 3. O conteúdo que vamos usar aqui é séries geométricas, que são somas de termos onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante. Para resolver, vamos precisar dividir a série em duas partes que são séries geométricas simples.

Passo 2

Primeiro, observamos a série original:
Perceba que os termos alternam entre ter numerador 1 e 2. Vamos separar essa série em duas séries distintas: uma com os numeradores 1 e outra com os numeradores 2.

Passo 3

Separando a série, temos:
Agora, identificamos duas séries geométricas onde cada uma tem uma razão comum.

Passo 4

Vamos analisar a primeira série:
Aqui, o primeiro termo e a razão .
A soma de uma série geométrica infinita é dada por:
Aplicando isso a :

Passo 5

Agora, vamos analisar a segunda série:
Aqui, o primeiro termo e a razão .
Usando a mesma fórmula para séries geométricas:

Passo 6

Agora que temos as somas das duas séries separadas, podemos somá-las para obter a soma total da série original:
Para somar as frações, precisamos de denominadores iguais:

Resposta

A soma da série infinita é .

Exercícios relacionados

Se uma sequência infinita tal que . Mostre que .
Assinale V ou F, justificando suas respostas:
( ) Seja a sequência de somas parciais de . Se é convergente, então .
(34)
Prove que:
(d)