Determinar o ângulo entre as seguintes retas: r1:ly=-2 x+3 z=x-2 e r2: y=z+1-1 ; x=4

Passo 1

Primeiramente, vamos entender o enunciado. Precisamos determinar o ângulo entre duas retas no espaço tridimensional. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente o cálculo do ângulo entre vetores diretores das retas.

Passo 2

Vamos identificar os vetores diretores das duas retas. A reta r1: y = -2x + 3 z = x - 2 é dada por:
x = t y = -2t + 3 z = t - 2
Podemos reescrever as equações paramétricas da reta v1 = (1, -2, 1) usando um parâmetro :
Assim, o vetor diretor de é:

Passo 3

Agora, vamos analisar a reta r2: y = z + 1-1 x = 4 :
y = -z - 1
Podemos simplificar a equação de x = 4 y = -s - 1 z = s :
v2 = (0, -1, 1)
Usando um parâmetro , temos:
Portanto, o vetor diretor de é:

Passo 4

Para encontrar o ângulo cos(theta) = v1 cdot v2|v1| |v2| entre as duas retas, usamos a fórmula do produto escalar entre os vetores diretores:
(1)(0) + (-2)(-1) + (1)(1) = 0 + 2 + 1 = 3
Calculando o produto escalar |v1| = raiz1^2 + (-2)^2 + 1^2 = raiz6 :
|v2| = raiz0^2 + (-1)^2 + 1^2 = raiz2
Calculando as normas dos vetores:
cos(theta) = 3raiz6 times raiz2 = 3raiz12 = 32raiz3 = raiz32
Portanto:

Resposta

O ângulo entre as retas e é de .

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