Prove que as diagonais de um paralelogramo tem comprimentos iguais se, e somente se, o paralelogramo é retângulo. (Sugestão: prove e use o fato:
).
Passo 1
Vamos resolver o exercício que nos pede para provar que as diagonais de um paralelogramo têm comprimentos iguais se, e somente se, o paralelogramo for um retângulo. Para isso, vamos utilizar conceitos de geometria vetorial, especialmente o produto escalar (dot product) e as propriedades dos vetores que representam os lados do paralelogramo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um paralelogramo, os lados opostos são iguais e paralelos. Vamos representar os lados do paralelogramo por dois vetores
e
. As diagonais do paralelogramo podem ser representadas pelos vetores
e
.
Passo 3
Queremos provar que as diagonais têm o mesmo comprimento se, e somente se, o paralelogramo for um retângulo. Isso significa que precisamos mostrar duas implicações:
- Se as diagonais têm comprimentos iguais, então o paralelogramo é um retângulo.
- Se o paralelogramo é um retângulo, então as diagonais têm comprimentos iguais.
Passo 4
Vamos começar provando a primeira implicação: se
, então o paralelogramo é um retângulo.
Sabemos que:
Se
, então:
Passo 5
Vamos elevar ambos os lados ao quadrado para simplificar:
Expandindo os produtos escalares:
Passo 6
Simplificando os termos semelhantes:
Somando
em ambos os lados:
Portanto:
Passo 7
O produto escalar
indica que os vetores
e
são perpendiculares, ou seja, os lados do paralelogramo se encontram em ângulos retos. Isso caracteriza o paralelogramo como um retângulo.
Passo 8
Agora, vamos provar a segunda implicação: se o paralelogramo é um retângulo, então as diagonais têm comprimentos iguais.
Em um retângulo, os lados adjacentes são perpendiculares, então
. Calculando os comprimentos das diagonais:
Passo 9
Elevando ao quadrado:
Passo 10
Como
, temos:
Portanto:
Ou seja, as diagonais têm o mesmo comprimento.
Resposta
Assim, provamos que as diagonais de um paralelogramo têm comprimentos iguais se, e somente se, o paralelogramo for um retângulo.
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Determine quais dos seguintes conjuntos são bases de
:
.
Determine quais dos seguintes conjuntos são bases de
:
Seja
o conjunto das matrizes
com entradas reais. Considere
Prove que
, coma a multiplicação usual de matrizes é um grupo.
Determine quais dos seguintes conjuntos são bases de
:
.