Prove que as diagonais de um paralelogramo tem comprimentos iguais se, e somente se, o paralelogramo é retângulo. (Sugestão: prove e use o fato: u cdot v=0 Long<=ftrightarrow|u+v|=|u-v| ).

Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos pede para provar que as diagonais de um paralelogramo têm comprimentos iguais se, e somente se, o paralelogramo for um retângulo. Para isso, vamos utilizar conceitos de geometria vetorial, especialmente o produto escalar (dot product) e as propriedades dos vetores que representam os lados do paralelogramo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um paralelogramo, os lados opostos são iguais e paralelos. Vamos representar os lados do paralelogramo por dois vetores u e v. As diagonais do paralelogramo podem ser representadas pelos vetores d1 = u + v e d2 = u - v.

Passo 3

Queremos provar que as diagonais têm o mesmo comprimento se, e somente se, o paralelogramo for um retângulo. Isso significa que precisamos mostrar duas implicações:
  1. Se as diagonais têm comprimentos iguais, então o paralelogramo é um retângulo.
  2. Se o paralelogramo é um retângulo, então as diagonais têm comprimentos iguais.

Passo 4

Vamos começar provando a primeira implicação: se ||d1|| = ||d2||, então o paralelogramo é um retângulo.
Sabemos que:
||d1|| = ||u + v||
||d2|| = ||u - v||
Se ||d1|| = ||d2||, então:
||u + v|| = ||u - v||

Passo 5

Vamos elevar ambos os lados ao quadrado para simplificar:
(u + v) cdot (u + v) = (u - v) cdot (u - v)
Expandindo os produtos escalares:
u cdot u + 2u cdot v + v cdot v = u cdot u - 2u cdot v + v cdot v

Passo 6

Simplificando os termos semelhantes:
2u cdot v = -2u cdot v
Somando 2u cdot v em ambos os lados:
4u cdot v = 0
Portanto:
u cdot v = 0

Passo 7

O produto escalar u cdot v = 0 indica que os vetores u e v são perpendiculares, ou seja, os lados do paralelogramo se encontram em ângulos retos. Isso caracteriza o paralelogramo como um retângulo.

Passo 8

Agora, vamos provar a segunda implicação: se o paralelogramo é um retângulo, então as diagonais têm comprimentos iguais.
Em um retângulo, os lados adjacentes são perpendiculares, então u cdot v = 0. Calculando os comprimentos das diagonais:
||d1|| = ||u + v||
||d2|| = ||u - v||

Passo 9

Elevando ao quadrado:
||u + v||^2 = (u + v) cdot (u + v) = ||u||^2 + 2u cdot v + ||v||^2
||u - v||^2 = (u - v) cdot (u - v) = ||u||^2 - 2u cdot v + ||v||^2

Passo 10

Como u cdot v = 0, temos:
||u + v||^2 = ||u||^2 + ||v||^2
||u - v||^2 = ||u||^2 + ||v||^2
Portanto:
||u + v|| = ||u - v||
Ou seja, as diagonais têm o mesmo comprimento.

Resposta

Assim, provamos que as diagonais de um paralelogramo têm comprimentos iguais se, e somente se, o paralelogramo for um retângulo.

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