Seja o conjunto das matrizes com entradas reais. Considere
Prove que , coma a multiplicação usual de matrizes é um grupo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que o conjunto , que é formado por todas as matrizes com determinante diferente de zero, forma um grupo quando consideramos a multiplicação de matrizes como operação. Para resolver isso, vamos revisar o que é um grupo e verificar se satisfaz todas as propriedades necessárias usando conceitos de álgebra linear, como determinantes e multiplicação de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um grupo. Um grupo é um conjunto junto com uma operação que combina dois elementos para formar um terceiro, e esse conjunto deve satisfazer quatro propriedades:
Fechamento: Se pegar dois elementos do grupo e operá-los, o resultado também está no grupo.
Associatividade: A ordem em que as operações são feitas não altera o resultado.
Elemento identidade: Existe um elemento que, quando operado com qualquer outro elemento, não muda esse elemento.
Elemento inverso: Para cada elemento no grupo, existe outro que, quando operados juntos, resultam no elemento identidade.
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para .
Passo 3
1. Fechamento
Queremos mostrar que se e são matrizes em , então também está em .
Sabemos que o determinante da multiplicação de matrizes é o produto dos determinantes:
Como e têm determinantes diferentes de zero, . Portanto, também tem determinante diferente de zero e pertence a .
Passo 4
2. Associatividade
A associatividade já é uma propriedade conhecida da multiplicação de matrizes. Ou seja, para quaisquer matrizes , e em :
Portanto, a associatividade está garantida.
Passo 5
3. Elemento identidade
O elemento identidade em é a matriz identidade , que tem 1’s na diagonal principal e 0’s nas outras posições:
Para qualquer matriz em :
Além disso, o determinante de é 1, que é diferente de zero, então está em .
Passo 6
4. Elemento inverso
Para cada matriz A bul<=t A^-1 = A^-1 bul<=t A = I em det(A^-1) = 1det(A) neq 0 , existe uma matriz inversa tal que:
Como , é invertível e também terá determinante diferente de zero, pois:
Portanto, também está em .
Resposta
Assim, verificamos que satisfaz todas as propriedades de um grupo com a multiplicação de matrizes. Portanto, é, de fato, um grupo.