Seja M3(R) o conjunto das matrizes 3 times 3 com entradas reais. Considere
G L(3, R)=M in M3(R): det(M) neq 0
Prove que (G L(3, R), bul<=t), coma a multiplicação usual de matrizes é um grupo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que o conjunto , que é formado por todas as matrizes com determinante diferente de zero, forma um grupo quando consideramos a multiplicação de matrizes como operação. Para resolver isso, vamos revisar o que é um grupo e verificar se satisfaz todas as propriedades necessárias usando conceitos de álgebra linear, como determinantes e multiplicação de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um grupo. Um grupo é um conjunto junto com uma operação que combina dois elementos para formar um terceiro, e esse conjunto deve satisfazer quatro propriedades:
  1. Fechamento: Se pegar dois elementos do grupo e operá-los, o resultado também está no grupo.
  2. Associatividade: A ordem em que as operações são feitas não altera o resultado.
  3. Elemento identidade: Existe um elemento que, quando operado com qualquer outro elemento, não muda esse elemento.
  4. Elemento inverso: Para cada elemento no grupo, existe outro que, quando operados juntos, resultam no elemento identidade.
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para .

Passo 3

1. Fechamento
Queremos mostrar que se det(A bul<=t B) = det(A) cdot det(B) e são matrizes em , então também está em .
Sabemos que o determinante da multiplicação de matrizes é o produto dos determinantes:
Como e têm determinantes diferentes de zero, . Portanto, também tem determinante diferente de zero e pertence a .

Passo 4

2. Associatividade
A associatividade já é uma propriedade conhecida da multiplicação de matrizes. Ou seja, para quaisquer matrizes (A bul<=t B) bul<=t C = A bul<=t (B bul<=t C) , e em :
Portanto, a associatividade está garantida.

Passo 5

3. Elemento identidade
O elemento identidade em I = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 é a matriz identidade I bul<=t A = A bul<=t I = A , que tem 1’s na diagonal principal e 0’s nas outras posições:
Para qualquer matriz em :
Além disso, o determinante de é 1, que é diferente de zero, então está em .

Passo 6

4. Elemento inverso
Para cada matriz A bul<=t A^-1 = A^-1 bul<=t A = I em det(A^-1) = 1det(A) neq 0 , existe uma matriz inversa tal que:
Como , é invertível e também terá determinante diferente de zero, pois:
Portanto, também está em .

Resposta

Assim, verificamos que satisfaz todas as propriedades de um grupo com a multiplicação de matrizes. Portanto, é, de fato, um grupo.

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