Determine quais dos seguintes conjuntos são bases de
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que verificar se o conjunto
é uma base de
. Isso está relacionado ao conteúdo de álgebra linear, especificamente no que diz respeito a bases e espaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de linearidade e span (ou abrangência).
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se os vetores são linearmente independentes. Isso significa que não dá para escrever um vetor como múltiplo do outro. Se forem independentes, já temos um bom indicativo de que podem formar uma base.
Passo 3
Para checar a independência linear, vamos montar uma matriz com esses vetores como colunas:
Agora, calculamos o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes.
Passo 4
Calculando o determinante:
Como o determinante é 3, que é diferente de zero, concluímos que os vetores são linearmente independentes.
Passo 5
Agora, precisamos ver se esses vetores geram todo o espaço
. Como são dois vetores independentes em um espaço bidimensional, eles automaticamente geram todo o
.
Resposta
Sim, o conjunto
é uma base de
.
Exercícios relacionados
Sejam
números reais. O conjunto H de todos os vetores
tais que
é um subespaço vetorial de
. No caso desinteressante em que
, o subespaço
é todo o
. Se, ao contrário, pelo menos um dos
é
, H chama-se um hiperplano de
que passa pela origem.
Suponha
e
ciclos disjuntos de
, digamos
e
com
, para todo
e
.
Calcule e
, prara todo
.
Calcule
Determine quais dos seguintes conjuntos são bases de
:
.
Prove que as diagonais de um paralelogramo tem comprimentos iguais se, e somente se, o paralelogramo é retângulo. (Sugestão: prove e use o fato:
).