Determine quais dos seguintes conjuntos são bases de R^2 : (1,1),(0,3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que verificar se o conjunto (1,1), (0,3) é uma base de R^2. Isso está relacionado ao conteúdo de álgebra linear, especificamente no que diz respeito a bases e espaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de linearidade e span (ou abrangência).

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se os vetores são linearmente independentes. Isso significa que não dá para escrever um vetor como múltiplo do outro. Se forem independentes, já temos um bom indicativo de que podem formar uma base.

Passo 3

Para checar a independência linear, vamos montar uma matriz com esses vetores como colunas:
1 & 0 1 & 3
Agora, calculamos o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes.

Passo 4

Calculando o determinante:
det = (1)(3) - (0)(1) = 3 - 0 = 3
Como o determinante é 3, que é diferente de zero, concluímos que os vetores são linearmente independentes.

Passo 5

Agora, precisamos ver se esses vetores geram todo o espaço R^2. Como são dois vetores independentes em um espaço bidimensional, eles automaticamente geram todo o R^2.

Resposta

Sim, o conjunto (1,1), (0,3) é uma base de R^2.

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