Determine quais dos seguintes conjuntos são bases de R^3 :
(3,0,0),(1,1,0),(2,2,2),(1,3,5).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é: “Determine quais dos seguintes conjuntos são bases de R^3: (3,0,0),(1,1,0),(2,2,2),(1,3,5).” O conteúdo que vamos usar aqui é o de bases e independência linear em álgebra linear. Precisamos verificar se os vetores dados são linearmente independentes e se eles geram todo o espaço R^3.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma base. Uma base de R^3 é um conjunto de três vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Ou seja, qualquer vetor em R^3 pode ser escrito como combinação linear desses três vetores.

Passo 3

Temos um conjunto com quatro vetores, mas uma base de R^3 só precisa de três vetores. Vamos analisar quais subconjuntos de três vetores entre esses quatro formam uma base. Para isso, vamos verificar se três vetores são linearmente independentes.

Passo 4

Para verificar a independência linear, montamos uma matriz com os vetores como colunas e calculamos o determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes. Vamos testar alguns subconjuntos:
  1. Conjunto A: (3,0,0), (1,1,0), (2,2,2)
    A matriz fica:
    3 & 1 & 2 0 & 1 & 2 0 & 0 & 2
    O determinante é 3 times (1 times 2 - 2 times 0) - 1 times (0 times 2 - 2 times 0) + 2 times (0 times 0 - 1 times 0) = 3 times 2 = 6 neq 0. Então, esse conjunto é uma base.
  2. Conjunto B: (3,0,0), (1,1,0), (1,3,5)
    A matriz fica:
    3 & 1 & 1 0 & 1 & 3 0 & 0 & 5
    O determinante é 3 times (1 times 5 - 3 times 0) - 1 times (0 times 5 - 3 times 0) + 1 times (0 times 0 - 1 times 0) = 3 times 5 = 15 neq 0. Esse também é uma base.
  3. Conjunto C: (3,0,0), (2,2,2), (1,3,5)
    A matriz fica:
    3 & 2 & 1 0 & 2 & 3 0 & 2 & 5
    O determinante é 3 times (2 times 5 - 3 times 2) - 2 times (0 times 5 - 3 times 0) + 1 times (0 times 2 - 2 times 0) = 3 times (10 - 6) = 12 neq 0. Esse também forma uma base.
  4. Conjunto D: (1,1,0), (2,2,2), (1,3,5)
    A matriz fica:
    1 & 2 & 1 1 & 2 & 3 0 & 2 & 5
    O determinante é 1 times (2 times 5 - 3 times 2) - 2 times (1 times 5 - 3 times 0) + 1 times (1 times 2 - 2 times 0) = 1 times (10 - 6) - 2 times 5 + 1 times 2 = 4 - 10 + 2 = -4 neq 0. Esse também é uma base.

Resposta

Todos os conjuntos formados por três vetores dentre os quatro dados são bases de R^3. Assim, cada um dos seguintes conjuntos é uma base:
  1. (3,0,0),(1,1,0),(2,2,2)
  2. (3,0,0),(1,1,0),(1,3,5)
  3. (3,0,0),(2,2,2),(1,3,5)
  4. (1,1,0),(2,2,2),(1,3,5)

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