Determine quais dos seguintes conjuntos são bases de : .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é: “Determine quais dos seguintes conjuntos são bases de : .” O conteúdo que vamos usar aqui é o de bases e independência linear em álgebra linear. Precisamos verificar se os vetores dados são linearmente independentes e se eles geram todo o espaço .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma base. Uma base de é um conjunto de três vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Ou seja, qualquer vetor em pode ser escrito como combinação linear desses três vetores.
Passo 3
Temos um conjunto com quatro vetores, mas uma base de só precisa de três vetores. Vamos analisar quais subconjuntos de três vetores entre esses quatro formam uma base. Para isso, vamos verificar se três vetores são linearmente independentes.
Passo 4
Para verificar a independência linear, montamos uma matriz com os vetores como colunas e calculamos o determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes. Vamos testar alguns subconjuntos:
Conjunto A:, ,
A matriz fica:
O determinante é 3 times (1 times 2 - 2 times 0) - 1 times (0 times 2 - 2 times 0) + 2 times (0 times 0 - 1 times 0) = 3 times 2 = 6 neq 0. Então, esse conjunto é uma base.
Conjunto B:(3,0,0), (1,1,0), (1,3,5)
A matriz fica:
3 & 1 & 1 0 & 1 & 3 0 & 0 & 5
O determinante é 3 times (1 times 5 - 3 times 0) - 1 times (0 times 5 - 3 times 0) + 1 times (0 times 0 - 1 times 0) = 3 times 5 = 15 neq 0. Esse também é uma base.
Conjunto C:(3,0,0), (2,2,2), (1,3,5)
A matriz fica:
3 & 2 & 1 0 & 2 & 3 0 & 2 & 5
O determinante é 3 times (2 times 5 - 3 times 2) - 2 times (0 times 5 - 3 times 0) + 1 times (0 times 2 - 2 times 0) = 3 times (10 - 6) = 12 neq 0. Esse também forma uma base.
Conjunto D:(1,1,0), (2,2,2), (1,3,5)
A matriz fica:
1 & 2 & 1 1 & 2 & 3 0 & 2 & 5
O determinante é 1 times (2 times 5 - 3 times 2) - 2 times (1 times 5 - 3 times 0) + 1 times (1 times 2 - 2 times 0) = 1 times (10 - 6) - 2 times 5 + 1 times 2 = 4 - 10 + 2 = -4 neq 0. Esse também é uma base.
Resposta
Todos os conjuntos formados por três vetores dentre os quatro dados são bases de R^3. Assim, cada um dos seguintes conjuntos é uma base: