A função a seguir descreve a produção de matéria seca
(
) do milho em função da idade da planta
(dias).
Encontre os pontos críticos.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função que representa a produção de matéria seca (
) do milho em função da idade da planta (
) em dias:
O objetivo é encontrar os pontos críticos dessa função. Pontos críticos são valores de
onde a derivada da função é zero ou não existe. Esses pontos são importantes porque podem indicar máximos, mínimos ou pontos de inflexão na curva da função.
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de derivada. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dessa função em cada ponto, ou seja, como a função está mudando naquele ponto específico.
Passo 2
Agora, vamos calcular a derivada da função
. A derivada, denotada por
, nos mostra a inclinação da curva da função em qualquer ponto
.
A função dada é:
Para encontrar
, aplicamos as regras de derivação para cada termo:
- A derivada de
é . - A derivada de
é . - A derivada de
é . - A derivada de uma constante (
) é .
Portanto, a derivada da função é:
Passo 3
Com a derivada em mãos, precisamos encontrar os valores de
que fazem
. Esses são os pontos onde a inclinação da curva é zero, ou seja, onde a curva pode ter um pico (máximo) ou um vale (mínimo).
Então, igualamos a derivada a zero:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
que satisfazem a condição
. A equação é:
Podemos simplificar multiplicando todos os termos por
para eliminar os decimais:
Agora, usamos a fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática
:
Onde, neste caso,
,
, e
.
Calculando o discriminante (
):
Agora, calculamos as raízes:
Isso nos dá duas soluções:
Resposta
Os pontos críticos da função são aproximadamente
dias e
dias.
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