Qual é o resultado da integral definida
integral0^2(4 x^3-2 x+1) d x ?
a) 8
b) 12
c) 14
d) 18

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida:
integral0^2(4 x^3-2 x+1) dx
Esse exercício está ligado ao estudo de cálculo integral, especificamente integração de funções polinomiais. Para resolver, vamos precisar conhecer as regras básicas de integração e entender como aplicar os limites da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para calcular uma integral definida, a gente precisa encontrar a antiderivada (ou primitiva) da função que está sendo integrada. A antiderivada é uma função cuja derivada é a função original. Depois de encontrar a antiderivada, aplicamos os limites de integração para obter o valor final.

Passo 3

Vamos integrar cada termo da função integral x^n dx = x^n+1n+1 + C separadamente. As regras de integração para potências de são:
onde é a constante de integração (que não precisamos considerar para integrais definidas).

Passo 4

Aplicando a regra de integração a cada termo:
integral 4x^3 dx = 4 cdot x^44 = x^4
integral (-2x) dx = -2 cdot x^22 = -x^2
integral 1 dx = x
Então, a antiderivada da função é:
x^4 - x^2 + x

Passo 5

Agora, vamos aplicar os limites de integração de 0 a 2. Isso significa que vamos calcular a antiderivada em 2 e em 0, e depois subtrair:
[ x^4 - x^2 + x ]0^2 = (2^4 - 2^2 + 2) - (0^4 - 0^2 + 0)
Calculando cada parte:
2^4 = 16, 2^2 = 4, 2 = 2
Então:
(16 - 4 + 2) - (0 - 0 + 0) = 14

Resposta

A resposta correta é a opção c) 14.

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