Prove que se dois planos são paralelos então toda reta paralela a um deles é paralela ou está contida no outro plano.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos dois planos que são paralelos entre si e precisamos provar que toda reta que é paralela a um desses planos é ou paralela ao outro plano ou está contida nele. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria espacial sobre planos e retas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa dois planos serem paralelos. Dois planos são paralelos se eles nunca se intersectam, ou seja, estão sempre à mesma distância um do outro. Isso também implica que as normais (vetores perpendiculares) desses planos são colineares.

Passo 3

Agora, considere uma reta que é paralela ao primeiro plano . Ser paralela a um plano significa que a direção da reta está contida no plano ou que a reta nunca intercepta o plano.

Passo 4

Queremos analisar como essa reta se comporta em relação ao segundo plano , que é paralelo a . Existem duas possibilidades:
  1. A reta é paralela a : Isso ocorre se a direção de não tem componente na direção da normal de .
  2. A reta está contida em : Isso acontece se todos os pontos da reta pertencem ao plano .

Passo 5

Vamos formalizar isso. Como , as direções das retas contidas em também são válidas para sem que haja interseção. Portanto, se a reta é paralela a , ela mantém essa relação com , ou seja, ou é paralela a ou está totalmente contida nele.

Passo 6

Portanto, mostramos que a reta , ao ser paralela a , não pode ter um comportamento diferente em relação a se os planos são paralelos. Assim, ou ela continua paralela a ou está completamente sobre .

Resposta

Concluímos que se dois planos são paralelos, toda reta paralela a um deles é paralela ou está contida no outro plano.

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