Prove que se dois planos são paralelos então toda reta paralela a um deles é paralela ou está contida no outro plano.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos dois planos que são paralelos entre si e precisamos provar que toda reta que é paralela a um desses planos é ou paralela ao outro plano ou está contida nele. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria espacial sobre planos e retas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa dois planos serem paralelos. Dois planos são paralelos se eles nunca se intersectam, ou seja, estão sempre à mesma distância um do outro. Isso também implica que as normais (vetores perpendiculares) desses planos são colineares.
Passo 3
Agora, considere uma reta
que é paralela ao primeiro plano
. Ser paralela a um plano significa que a direção da reta está contida no plano ou que a reta nunca intercepta o plano.
Passo 4
Queremos analisar como essa reta
se comporta em relação ao segundo plano
, que é paralelo a
. Existem duas possibilidades:
- A reta
é paralela a : Isso ocorre se a direção de não tem componente na direção da normal de . - A reta
está contida em : Isso acontece se todos os pontos da reta pertencem ao plano .
Passo 5
Vamos formalizar isso. Como
, as direções das retas contidas em
também são válidas para
sem que haja interseção. Portanto, se a reta
é paralela a
, ela mantém essa relação com
, ou seja, ou é paralela a
ou está totalmente contida nele.
Passo 6
Portanto, mostramos que a reta
, ao ser paralela a
, não pode ter um comportamento diferente em relação a
se os planos são paralelos. Assim, ou ela continua paralela a
ou está completamente sobre
.
Resposta
Concluímos que se dois planos são paralelos, toda reta paralela a um deles é paralela ou está contida no outro plano.