Mostre que dois planos são perpendiculares se e só se duas retas respectivamente perpendiculares a cada um deles são ortogonais.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar o conteúdo que vamos usar para resolver. A pergunta quer que a gente mostre que dois planos são perpendiculares se e só se duas retas, cada uma perpendicular a um dos planos, forem ortogonais entre si. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de geometria espacial, especificamente sobre planos, retas perpendiculares e ortogonalidade entre retas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que dois planos são perpendiculares. Dois planos são perpendiculares se as suas normais (vetores perpendiculares a cada plano) forem perpendiculares entre si. Isso significa que o ângulo entre as duas normais é de 90 graus.

Passo 3

Agora, vamos pensar nas retas que são perpendiculares a cada um dos planos. Se temos uma reta perpendicular a um plano, essa reta está alinhada com a normal desse plano. Ou seja, a direção da reta é a mesma direção do vetor normal ao plano.

Passo 4

Sabemos que duas retas são ortogonais se o ângulo entre elas é de 90 graus. Então, se temos duas retas, cada uma perpendicular a um dos planos, e essas retas são ortogonais, isso implica que os vetores normais aos planos também são ortogonais.

Passo 5

Vamos juntar as informações:
  • Se os planos são perpendiculares, então suas normais são perpendiculares.
  • As retas são perpendiculares aos planos, então estão na direção das normais.
  • Se as normais são perpendiculares, as retas (que seguem as normais) também são ortogonais.
Isso mostra que se os planos são perpendiculares, então as retas são ortogonais.

Passo 6

Agora, vamos fazer o caminho contrário: se as retas são ortogonais, então as normais dos planos são ortogonais, o que implica que os planos são perpendiculares.

Resposta

Portanto, mostramos que dois planos são perpendiculares se e somente se duas retas, cada uma perpendicular a um dos planos, forem ortogonais entre si.

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