Mostre que dois planos são perpendiculares se e só se duas retas respectivamente perpendiculares a cada um deles são ortogonais.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar o conteúdo que vamos usar para resolver. A pergunta quer que a gente mostre que dois planos são perpendiculares se e só se duas retas, cada uma perpendicular a um dos planos, forem ortogonais entre si. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de geometria espacial, especificamente sobre planos, retas perpendiculares e ortogonalidade entre retas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que dois planos são perpendiculares. Dois planos são perpendiculares se as suas normais (vetores perpendiculares a cada plano) forem perpendiculares entre si. Isso significa que o ângulo entre as duas normais é de 90 graus.
Passo 3
Agora, vamos pensar nas retas que são perpendiculares a cada um dos planos. Se temos uma reta perpendicular a um plano, essa reta está alinhada com a normal desse plano. Ou seja, a direção da reta é a mesma direção do vetor normal ao plano.
Passo 4
Sabemos que duas retas são ortogonais se o ângulo entre elas é de 90 graus. Então, se temos duas retas, cada uma perpendicular a um dos planos, e essas retas são ortogonais, isso implica que os vetores normais aos planos também são ortogonais.
Passo 5
Vamos juntar as informações:
- Se os planos são perpendiculares, então suas normais são perpendiculares.
- As retas são perpendiculares aos planos, então estão na direção das normais.
- Se as normais são perpendiculares, as retas (que seguem as normais) também são ortogonais.
Isso mostra que se os planos são perpendiculares, então as retas são ortogonais.
Passo 6
Agora, vamos fazer o caminho contrário: se as retas são ortogonais, então as normais dos planos são ortogonais, o que implica que os planos são perpendiculares.
Resposta
Portanto, mostramos que dois planos são perpendiculares se e somente se duas retas, cada uma perpendicular a um dos planos, forem ortogonais entre si.