Demonstre que se dois planos distintos são perpendiculares a uma mesma reta então são paralelos entre si.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente demonstrar que se dois planos diferentes são perpendiculares à mesma reta, então esses planos são paralelos entre si. Isso está relacionado ao conteúdo de geometria espacial, especificamente sobre planos e retas. Para resolver, vamos precisar entender o que significa um plano ser perpendicular a uma reta e como isso implica que os planos são paralelos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um plano perpendicular a uma reta significa que a reta é normal ao plano. Em termos matemáticos, isso quer dizer que o vetor direção da reta é paralelo ao vetor normal do plano. O vetor normal de um plano é aquele que forma um ângulo de 90 graus com qualquer vetor que esteja no plano.

Passo 3

Agora, suponha que temos uma reta com vetor de direção . Se temos dois planos distintos, e , ambos perpendiculares a , então os vetores normais desses planos, e , são paralelos a . Isso porque a perpendicularidade implica que e estão na mesma direção que .

Passo 4

Agora que sabemos que e são paralelos, isso significa que os vetores normais dos planos e são paralelos entre si. Na geometria, dois planos que têm vetores normais paralelos são paralelos. Isso ocorre porque os planos nunca se encontram, mantendo sempre a mesma distância entre eles.

Passo 5

Como os planos e são distintos (não são o mesmo plano) e possuem vetores normais paralelos, concluímos que eles são paralelos entre si. Ou seja, dois planos diferentes que são perpendiculares à mesma reta não se encontram e mantêm uma distância constante entre si.

Resposta

Portanto, demonstramos que se dois planos distintos são perpendiculares a uma mesma reta, esses planos são paralelos entre si.

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