Demonstre que se dois planos distintos são perpendiculares a uma mesma reta então são paralelos entre si.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente demonstrar que se dois planos diferentes são perpendiculares à mesma reta, então esses planos são paralelos entre si. Isso está relacionado ao conteúdo de geometria espacial, especificamente sobre planos e retas. Para resolver, vamos precisar entender o que significa um plano ser perpendicular a uma reta e como isso implica que os planos são paralelos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um plano perpendicular a uma reta significa que a reta é normal ao plano. Em termos matemáticos, isso quer dizer que o vetor direção da reta é paralelo ao vetor normal do plano. O vetor normal de um plano é aquele que forma um ângulo de 90 graus com qualquer vetor que esteja no plano.
Passo 3
Agora, suponha que temos uma reta
com vetor de direção
. Se temos dois planos distintos,
e
, ambos perpendiculares a
, então os vetores normais desses planos,
e
, são paralelos a
. Isso porque a perpendicularidade implica que
e
estão na mesma direção que
.
Passo 4
Agora que sabemos que
e
são paralelos, isso significa que os vetores normais dos planos
e
são paralelos entre si. Na geometria, dois planos que têm vetores normais paralelos são paralelos. Isso ocorre porque os planos nunca se encontram, mantendo sempre a mesma distância entre eles.
Passo 5
Como os planos
e
são distintos (não são o mesmo plano) e possuem vetores normais paralelos, concluímos que eles são paralelos entre si. Ou seja, dois planos diferentes que são perpendiculares à mesma reta não se encontram e mantêm uma distância constante entre si.
Resposta
Portanto, demonstramos que se dois planos distintos são perpendiculares a uma mesma reta, esses planos são paralelos entre si.