Prove que o elemento neutro de um espaço vetorial é único.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que o elemento neutro (que a gente chama de zero vetorial) de um espaço vetorial é único. Isso está ligado ao conteúdo de Álgebra Linear, mais especificamente às propriedades de um espaço vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um espaço vetorial e o que é o elemento neutro nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar: em um espaço vetorial, o elemento neutro é o vetor que, quando somado a qualquer outro vetor do espaço, não altera esse vetor. Matematicamente, se
é o elemento neutro, então para qualquer vetor
no espaço vetorial, temos:
Passo 3
Agora, vamos supor que existam dois elementos neutros no espaço vetorial, digamos
e
. Nosso objetivo é mostrar que esses dois elementos devem ser iguais, ou seja,
.
Passo 4
Vamos usar a definição de elemento neutro para conectar
e
. Sabemos que:
Mas também, como
é neutro:
Passo 5
Agora, temos duas expressões para
. Então podemos igualar as duas:
Isso mostra que os dois elementos neutros são, na verdade, o mesmo vetor.
Resposta
Portanto, o elemento neutro de um espaço vetorial é único.