Prove que o elemento neutro de um espaço vetorial é único.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que o elemento neutro (que a gente chama de zero vetorial) de um espaço vetorial é único. Isso está ligado ao conteúdo de Álgebra Linear, mais especificamente às propriedades de um espaço vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um espaço vetorial e o que é o elemento neutro nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar: em um espaço vetorial, o elemento neutro é o vetor que, quando somado a qualquer outro vetor do espaço, não altera esse vetor. Matematicamente, se v + 0 = v é o elemento neutro, então para qualquer vetor no espaço vetorial, temos:

Passo 3

Agora, vamos supor que existam dois elementos neutros no espaço vetorial, digamos e . Nosso objetivo é mostrar que esses dois elementos devem ser iguais, ou seja, .

Passo 4

Vamos usar a definição de elemento neutro para conectar 0' + 0 = 0' e 0' + 0 = 0 . Sabemos que:
Mas também, como é neutro:

Passo 5

Agora, temos duas expressões para 0' = 0 . Então podemos igualar as duas:
Isso mostra que os dois elementos neutros são, na verdade, o mesmo vetor.

Resposta

Portanto, o elemento neutro de um espaço vetorial é único.

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