Prove que a energia armazenada e a densidade de carga em um capacitor esférico podem ser expressos por:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para provar as expressões da energia armazenada $ U $ e da densidade de carga $ \mu $ em um capacitor esférico. Estamos lidando com conceitos de eletrostática, especificamente sobre capacitores esféricos. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o trabalho necessário para carregar o capacitor e como determinar a densidade de carga em sua superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia armazenada em um capacitor pode ser calculada usando a fórmula:
onde $ Q $ é a carga e $ V $ é a diferença de potencial entre as esferas do capacitor.
Passo 3
No caso de um capacitor esférico, temos duas esferas concêntricas com raios $ r_a $ (esfera interna) e $ r_b $ (esfera externa). A diferença de potencial $ V $ entre elas pode ser encontrada usando a relação:
Aqui, $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo.
Passo 4
Substituindo a expressão de $ V $ na fórmula da energia $ U $:
Simplificando a expressão:
Esse é exatamente o que queríamos provar para a energia armazenada no capacitor esférico.
Passo 5
Agora, vamos calcular a densidade de carga $ \mu $. A densidade de carga é definida como a carga por unidade de área. Para a esfera interna com raio $ r $, a área é:
Então, a densidade de carga é:
Passo 6
No entanto, queremos expressar $ \mu $ em termos da energia $ U $. Sabemos que:
Resolvendo para $ Q^2 $:
Substituindo $ Q^2 $ na expressão da densidade de carga:
Resposta
Portanto, provamos que a energia armazenada e a densidade de carga em um capacitor esférico são dadas por:
e