Prove que a energia armazenada e a densidade de carga em um capacitor esférico podem ser expressos por:
U=Q^28 pi varepsilon0 (rb-ra)ra rb
mu=Q^232 pi^2 varepsilon0 r^4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para provar as expressões da energia armazenada $ U $ e da densidade de carga $ \mu $ em um capacitor esférico. Estamos lidando com conceitos de eletrostática, especificamente sobre capacitores esféricos. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o trabalho necessário para carregar o capacitor e como determinar a densidade de carga em sua superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia armazenada em um capacitor pode ser calculada usando a fórmula:
U = 12 Q V
onde $ Q $ é a carga e $ V $ é a diferença de potencial entre as esferas do capacitor.

Passo 3

No caso de um capacitor esférico, temos duas esferas concêntricas com raios $ r_a $ (esfera interna) e $ r_b $ (esfera externa). A diferença de potencial $ V $ entre elas pode ser encontrada usando a relação:
ra
Aqui, $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo.

Passo 4

Substituindo a expressão de $ V $ na fórmula da energia $ U $:
V
Simplificando a expressão:
U
Esse é exatamente o que queríamos provar para a energia armazenada no capacitor esférico.

Passo 5

Agora, vamos calcular a densidade de carga $ \mu $. A densidade de carga é definida como a carga por unidade de área. Para a esfera interna com raio $ r $, a área é:
mu
Então, a densidade de carga é:
r

Passo 6

No entanto, queremos expressar $ \mu $ em termos da energia $ U $. Sabemos que:
mu
Resolvendo para $ Q^2 $:
U
Substituindo $ Q^2 $ na expressão da densidade de carga:
U = Q^28 pi varepsilon0 cdot rb - rara rb

Resposta

Portanto, provamos que a energia armazenada e a densidade de carga em um capacitor esférico são dadas por:
U = Q^28 pi varepsilon0 (rb-ra)ra rb
e
mu = Q^232 pi^2 varepsilon0 r^4

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