Um ioiô possui um momento de inércia de 960,5 g m 2 e uma massa de 188,3 g. O raio de seu eixo é 7,9 mm e sua corda tem 100 cm de comprimento. O iôiô rola, a partir do repouso, até a extremidade da corda. Qual é o módulo da aceleração linear do ioiô? Considere a acelaração da gravidade igual a 9.8 m / s^2.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um exercício sobre um ioiô que está rolando até o final da corda. A pergunta é para descobrir qual é a aceleração linear desse ioiô. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de Dinâmica Rotacional e Leis do Movimento. Vamos usar fórmulas que relacionam força, massa, aceleração e momento de inércia.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada nos dados que temos e garantir que todas as unidades estejam no Sistema Internacional (SI):
  • Momento de inércia, $ I = 960,5, \mathrm{g,m^2} $ → precisamos converter para kg·m²: I = 960,5, g,m^2
  • Massa, $ m = 188,3, \mathrm{g} $ → convertendo para kg: I = 960,5, g,m^2 times 1, kg1000, g = 0,9605, kg,m^2
  • Raio do eixo, $ R = 7,9, \mathrm{mm} $ → convertendo para metros: m = 188,3, g
  • Comprimento da corda, $ L = 100, \mathrm{cm} $ → convertendo para metros: m = 188,3, g times 1, kg1000, g = 0,1883, kg
  • Aceleração da gravidade, $ g = 9,8, \mathrm{m/s^2} $

Passo 3

Agora, vamos pensar em como o ioiô está se movendo. Quando o ioiô desce pela corda, ele está girando ao mesmo tempo. Isso significa que temos duas formas de movimento: translação (movimento para baixo) e rotação (giro).
A força que faz o ioiô descer é a força da gravidade, que pode ser dividida em duas partes:
  1. A força que causa a aceleração linear (translação).
  2. A força que causa a aceleração angular (rotação).

Passo 4

Vamos usar a segunda lei de Newton para o movimento linear e a fórmula da rotação.
Para o movimento linear:
Sigma F = m cdot a
A força resultante é a tensão da corda $ T $ subtraída da força da gravidade $ m \cdot g $:
T
Para o movimento rotacional:
m cdot g
Aqui, $ \tau $ é o torque, que é a força da tensão da corda multiplicada pelo raio $ R $:
m cdot g - T = m cdot a

Passo 5

Precisamos relacionar a aceleração angular $ \alpha $ com a aceleração linear $ a $. Sabemos que:
alpha
Então, podemos escrever:
a

Passo 6

Agora, vamos substituir $ \alpha $ na equação do torque:
alpha
Simplificando:
T cdot R = I cdot ( aR )
T cdot R = I cdot aR

Passo 7

Vamos voltar à equação da força linear e substituir $ T $:
T
Agora, vamos isolar $ a $:
m cdot g - I cdot aR^2 = m cdot a
a
m cdot g = m cdot a + I cdot aR^2

Passo 8

Agora, vamos substituir todos os valores que temos na fórmula:
a = 0,1883, kg times 9,8, m/s^20,1883, kg + 0,9605, kg,m^2(0,0079, m)^2
Primeiro, calculamos $ \frac{I}{R^2} $:
IR^2
Agora, somamos com a massa:
0,9605(0,0079)^2 = 0,96050,00006241 approx 15369,43, kg
Finalmente, calculamos $ a $:
0,1883 + 15369,43 approx 15369,62, kg

Resposta

O módulo da aceleração linear do ioiô é aproximadamente $ 0,00012, \mathrm{m/s^2} $.

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