Um ioiô possui um momento de inércia de
e uma massa de
. O raio de seu eixo é
e sua corda tem 100 cm de comprimento. O iôiô rola, a partir do repouso, até a extremidade da corda. Qual é o módulo da aceleração linear do ioiô? Considere a acelaração da gravidade igual a
.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um exercício sobre um ioiô que está rolando até o final da corda. A pergunta é para descobrir qual é a aceleração linear desse ioiô. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de Dinâmica Rotacional e Leis do Movimento. Vamos usar fórmulas que relacionam força, massa, aceleração e momento de inércia.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada nos dados que temos e garantir que todas as unidades estejam no Sistema Internacional (SI):
- Momento de inércia, $ I = 960,5, \mathrm{g,m^2} $ → precisamos converter para kg·m²:
- Massa, $ m = 188,3, \mathrm{g} $ → convertendo para kg:
- Raio do eixo, $ R = 7,9, \mathrm{mm} $ → convertendo para metros:
- Comprimento da corda, $ L = 100, \mathrm{cm} $ → convertendo para metros:
- Aceleração da gravidade, $ g = 9,8, \mathrm{m/s^2} $
Passo 3
Agora, vamos pensar em como o ioiô está se movendo. Quando o ioiô desce pela corda, ele está girando ao mesmo tempo. Isso significa que temos duas formas de movimento: translação (movimento para baixo) e rotação (giro).
A força que faz o ioiô descer é a força da gravidade, que pode ser dividida em duas partes:
- A força que causa a aceleração linear (translação).
- A força que causa a aceleração angular (rotação).
Passo 4
Vamos usar a segunda lei de Newton para o movimento linear e a fórmula da rotação.
Para o movimento linear:
A força resultante é a tensão da corda $ T $ subtraída da força da gravidade $ m \cdot g $:
Para o movimento rotacional:
Aqui, $ \tau $ é o torque, que é a força da tensão da corda multiplicada pelo raio $ R $:
Passo 5
Precisamos relacionar a aceleração angular $ \alpha $ com a aceleração linear $ a $. Sabemos que:
Então, podemos escrever:
Passo 6
Agora, vamos substituir $ \alpha $ na equação do torque:
Simplificando:
Passo 7
Vamos voltar à equação da força linear e substituir $ T $:
Agora, vamos isolar $ a $:
Passo 8
Agora, vamos substituir todos os valores que temos na fórmula:
Primeiro, calculamos $ \frac{I}{R^2} $:
Agora, somamos com a massa:
Finalmente, calculamos $ a $:
Resposta
O módulo da aceleração linear do ioiô é aproximadamente $ 0,00012, \mathrm{m/s^2} $.