Determine os valores de a in R e L in R tais que lim x -2 3 x^2+a x+a+3x^2+x-2=L.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Aqui, estamos lidando com limites de funções racionais, que envolvem polinômios no numerador e denominador. Para resolver, precisamos encontrar os valores de e que tornam esse limite válido quando se aproxima de .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos (-2)^2 + (-2) - 2 = 4 - 2 - 2 = 0 na função. Calculando o denominador:
3(-2)^2 + a(-2) + a + 3 = 0
O denominador se torna zero, o que significa que precisamos que o numerador também seja zero para termos um limite finito. Assim, vamos substituir 3(4) - 2a + a + 3 = 0 12 - a + 3 = 0 15 - a = 0 a = 15 no numerador e igualar a zero:
Simplificando:

Passo 3

Agora que sabemos que 3x^2 + 15x + 15 + 3x^2 + x - 2 = 3x^2 + 15x + 18x^2 + x - 2 , substituímos esse valor na função original:
3(x^2 + 5x + 6)x^2 + x - 2 = 3(x + 2)(x + 3)(x + 2)(x - 1)
Podemos simplificar o numerador dividindo por 3:
3(x + 3)x - 1
Aqui, percebemos que está no numerador e no denominador, então podemos cancelar esse termo (desde que , o que é o caso aqui):

Passo 4

Agora, calculamos o limite dessa expressão simplificada quando L = limx to -2 3(x + 3)x - 1 = 3(-2 + 3)-2 - 1 = 3(1)-3 = -1 se aproxima de :

Resposta

Os valores são e .

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