Seja
um campo vetorial em
. Justifique a igualdade
onde
, e
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a pergunta está pedindo. Temos um campo vetorial
no plano
e duas curvas parametrizadas, para
entre
e
, e para
entre
e
. A questão quer que a gente justifique por que a integral de linha de
ao longo de
é igual à integral de
ao longo de
, ou seja:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que são integrais de linha em campos vetoriais e como diferentes parametrizações da mesma curva podem afetar o resultado da integral.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma integral de linha. Basicamente, quando temos um campo vetorial
e uma curva
, a integral de linha
calcula a soma das contribuições do campo vetorial ao longo dessa curva. Para calcular isso, usamos a parametrização da curva.
No caso da curva , ela representa uma circunferência unitária completa, já que
varia de
a
. Já a curva também descreve uma circunferência unitária, mas o parâmetro
vai de
a
. Vamos ver como essas duas parametrizações se relacionam.
Passo 3
Observando , vemos que quando
varia de
a
, o argumento das funções trigonométricas
varia de
a
. Isso significa que
percorre a mesma circunferência unitária que
, mas usando uma variável diferente que faz com que a curva seja “travessada” no mesmo sentido e na mesma quantidade de vezes.
Para conectar as duas parametrizações, podemos fazer uma substituição: deixar
. Assim, quando
varia de
a
,
varia de
a
, exatamente o intervalo de
.
Passo 4
Com essa substituição
, podemos reescrever a integral ao longo de
em termos de
:
Fazendo a mudança de variável
, temos
ou
. Substituindo na integral:
E isso é exatamente a definição da integral
. Portanto, as duas integrais são iguais.
Resposta
As integrais de linha de
ao longo de
e
são iguais porque ambas percorrem a mesma circunferência unitária com a mesma orientação, apenas usando diferentes parametrizações.
Exercícios relacionados
Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
(a)
(b)
©
(a)
(b)
©
(a) Quais são as grandezas dadas no problema?
Prove que se
, então,
,