Seja F um campo vetorial em R^2. Justifique a igualdade integralgamma F=integralbeta F onde gamma(t)= (cos t, sen t), t in[0,2 pi], e beta(s)=(cos 2 s, sen 2 s), s in[0, pi].

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a pergunta está pedindo. Temos um campo vetorial integralgamma F = integralbeta F no plano e duas curvas parametrizadas, para entre e , e para entre e . A questão quer que a gente justifique por que a integral de linha de ao longo de é igual à integral de ao longo de , ou seja:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que são integrais de linha em campos vetoriais e como diferentes parametrizações da mesma curva podem afetar o resultado da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma integral de linha. Basicamente, quando temos um campo vetorial e uma curva , a integral de linha calcula a soma das contribuições do campo vetorial ao longo dessa curva. Para calcular isso, usamos a parametrização da curva.
No caso da curva , ela representa uma circunferência unitária completa, já que varia de a . Já a curva também descreve uma circunferência unitária, mas o parâmetro vai de a . Vamos ver como essas duas parametrizações se relacionam.

Passo 3

Observando , vemos que quando varia de a , o argumento das funções trigonométricas varia de a . Isso significa que percorre a mesma circunferência unitária que , mas usando uma variável diferente que faz com que a curva seja “travessada” no mesmo sentido e na mesma quantidade de vezes.
Para conectar as duas parametrizações, podemos fazer uma substituição: deixar . Assim, quando varia de a , varia de a , exatamente o intervalo de .

Passo 4

Com essa substituição integralbeta F = integral0^pi F(beta(s)) cdot beta'(s) , ds = integral0^pi F(cos 2s, sen 2s) cdot (-2sen 2s, 2cos 2s) , ds , podemos reescrever a integral ao longo de integral0^pi F(cos 2s, sen 2s) cdot (-2sen 2s, 2cos 2s) , ds = integral0^2pi F(cos t, sen t) cdot (-sen t, cos t) cdot dt2 times 2 = integral0^2pi F(cos t, sen t) cdot (-sen t, cos t) , dt em termos de :
Fazendo a mudança de variável , temos ou . Substituindo na integral:
E isso é exatamente a definição da integral . Portanto, as duas integrais são iguais.

Resposta

As integrais de linha de integralgamma F = integralbeta F ao longo de e são iguais porque ambas percorrem a mesma circunferência unitária com a mesma orientação, apenas usando diferentes parametrizações.

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