Seja um campo vetorial em . Justifique a igualdade onde , e .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a pergunta está pedindo. Temos um campo vetorial no plano e duas curvas parametrizadas, para entre e , e para entre e . A questão quer que a gente justifique por que a integral de linha de ao longo de é igual à integral de ao longo de , ou seja:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que são integrais de linha em campos vetoriais e como diferentes parametrizações da mesma curva podem afetar o resultado da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma integral de linha. Basicamente, quando temos um campo vetorial e uma curva , a integral de linha calcula a soma das contribuições do campo vetorial ao longo dessa curva. Para calcular isso, usamos a parametrização da curva.
No caso da curva , ela representa uma circunferência unitária completa, já que varia de a . Já a curva também descreve uma circunferência unitária, mas o parâmetro vai de a . Vamos ver como essas duas parametrizações se relacionam.

Passo 3

Observando , vemos que quando varia de a , o argumento das funções trigonométricas varia de a . Isso significa que percorre a mesma circunferência unitária que , mas usando uma variável diferente que faz com que a curva seja “travessada” no mesmo sentido e na mesma quantidade de vezes.
Para conectar as duas parametrizações, podemos fazer uma substituição: deixar . Assim, quando varia de a , varia de a , exatamente o intervalo de .

Passo 4

Com essa substituição , podemos reescrever a integral ao longo de em termos de :
Fazendo a mudança de variável , temos ou . Substituindo na integral:
E isso é exatamente a definição da integral . Portanto, as duas integrais são iguais.

Resposta

As integrais de linha de ao longo de e são iguais porque ambas percorrem a mesma circunferência unitária com a mesma orientação, apenas usando diferentes parametrizações.

Exercícios relacionados

Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
(a)
(b)
©
, encontre quando e .
(a) Quais são as grandezas dadas no problema?
Prove que se , então, ,