Estude o sinais das funções:

Passo 1

Vamos estudar os sinais da função . Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra relacionados a funções quadráticas e valores absolutos. Precisaremos analisar o numerador e o denominador separadamente para determinar onde a função é positiva, negativa ou indefinida.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o numerador da função, que é . Observamos que este é um trinômio do segundo grau que pode ser fatorado.
Essa fatoração nos mostra que o numerador é um quadrado perfeito, ou seja, sempre será maior ou igual a zero.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o denominador da função, que é . O valor absoluto de qualquer expressão é sempre positivo, exceto quando a expressão dentro do valor absoluto é zero. Portanto, será sempre positivo, a menos que , ou seja, .

Passo 4

Como o denominador é sempre positivo (exceto em ), e o numerador também é sempre positivo ou zero, a função inteira será sempre positiva, exceto quando o denominador for zero.

Passo 5

Ocorre que no ponto , o denominador se torna zero, o que torna a função indefinida nesse ponto. Portanto, a função não existe em .

Resposta

A função é sempre positiva para todos os reais , exceto em , onde a função é indefinida.

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Prove por indução que para todo .
Prove por indução que para cada .