Estude o sinais das funções:
Passo 1
Vamos estudar os sinais da função
. Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra relacionados a funções quadráticas e valores absolutos. Precisaremos analisar o numerador e o denominador separadamente para determinar onde a função é positiva, negativa ou indefinida.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o numerador da função, que é
. Observamos que este é um trinômio do segundo grau que pode ser fatorado.
Essa fatoração nos mostra que o numerador é um quadrado perfeito, ou seja, sempre será maior ou igual a zero.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o denominador da função, que é
. O valor absoluto de qualquer expressão é sempre positivo, exceto quando a expressão dentro do valor absoluto é zero. Portanto,
será sempre positivo, a menos que
, ou seja,
.
Passo 4
Como o denominador
é sempre positivo (exceto em
), e o numerador
também é sempre positivo ou zero, a função inteira
será sempre positiva, exceto quando o denominador for zero.
Passo 5
Ocorre que no ponto
, o denominador se torna zero, o que torna a função indefinida nesse ponto. Portanto, a função não existe em
.
Resposta
A função
é sempre positiva para todos os reais
, exceto em
, onde a função é indefinida.
Exercícios relacionados
Estude o sinais das funções:
Estude o sinais das funções:
Prove por indução que para todo
.
Prove por indução que para cada
.