Prove a recíproca do exercício anterior. Isto é, mostre que dados quaisquer vetores não nulos
e
, se
, então
é agudo. Enuncie e prove resultado semelhante supondo que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar a recíproca do que vimos antes sobre vetores. Estamos trabalhando com produto escalar de vetores e o ângulo entre eles. O que precisamos é mostrar que:
- Se o produto escalar
, então o ângulo entre e é agudo. - Se o produto escalar
, então o ângulo entre e é obtuso.
Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da fórmula que relaciona o produto escalar dos vetores
e
com o ângulo
entre eles:
Aqui,
e
são as normas (ou magnitudes) dos vetores
e
, respectivamente. Essa fórmula é fundamental para relacionar o produto escalar com o ângulo entre os vetores.
Passo 3
Vamos começar com a primeira parte: se
, então
é agudo.
Dado que
e
são vetores não nulos, suas magnitudes são positivas, ou seja,
e
. A partir da fórmula do produto escalar:
Como
e
, podemos dividir ambos os lados por
sem alterar a desigualdade:
Sabemos que o cosseno de um ângulo é positivo quando o ângulo está entre
e
, ou seja, quando o ângulo é agudo. Portanto, se
, então
é agudo.
Passo 4
Agora vamos para a segunda parte: se
, então
é obtuso.
Usando a mesma fórmula do produto escalar:
Dessa vez, sabemos que
e, novamente,
. Então, ao dividir ambos os lados por
, temos:
O cosseno de um ângulo é negativo quando o ângulo está entre
e
, ou seja, o ângulo é obtuso. Portanto, se
, então
é obtuso.
Resposta
Concluímos que:
- Se
, então o ângulo entre e é agudo. - Se
, então o ângulo entre e é obtuso.