Prove a recíproca do exercício anterior. Isto é, mostre que dados quaisquer vetores não nulos u e v, se u cdot v>0, então ang<=(u, v) é agudo. Enuncie e prove resultado semelhante supondo que u cdot v<0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar a recíproca do que vimos antes sobre vetores. Estamos trabalhando com produto escalar de vetores e o ângulo entre eles. O que precisamos é mostrar que:
  1. Se o produto escalar u cdot v > 0, então o ângulo entre u e v é agudo.
  2. Se o produto escalar u cdot v < 0, então o ângulo entre u e v é obtuso.
Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula que relaciona o produto escalar dos vetores u e v com o ângulo theta entre eles:
u cdot v = |u| cdot |v| cdot cos(theta)
Aqui, |u| e |v| são as normas (ou magnitudes) dos vetores u e v, respectivamente. Essa fórmula é fundamental para relacionar o produto escalar com o ângulo entre os vetores.

Passo 3

Vamos começar com a primeira parte: se u cdot v > 0, então theta é agudo.
Dado que u e v são vetores não nulos, suas magnitudes são positivas, ou seja, |u| > 0 e |v| > 0. A partir da fórmula do produto escalar:
u cdot v = |u| cdot |v| cdot cos(theta)
Como u cdot v > 0 e |u| cdot |v| > 0, podemos dividir ambos os lados por |u| cdot |v| sem alterar a desigualdade:
cos(theta) > 0
Sabemos que o cosseno de um ângulo é positivo quando o ângulo está entre 0^circ e 90^circ, ou seja, quando o ângulo é agudo. Portanto, se u cdot v > 0, então theta é agudo.

Passo 4

Agora vamos para a segunda parte: se u cdot v < 0, então theta é obtuso.
Usando a mesma fórmula do produto escalar:
u cdot v = |u| cdot |v| cdot cos(theta)
Dessa vez, sabemos que u cdot v < 0 e, novamente, |u| cdot |v| > 0. Então, ao dividir ambos os lados por |u| cdot |v|, temos:
cos(theta) < 0
O cosseno de um ângulo é negativo quando o ângulo está entre 90^circ e 180^circ, ou seja, o ângulo é obtuso. Portanto, se u cdot v < 0, então theta é obtuso.

Resposta

Concluímos que:
  • Se u cdot v > 0, então o ângulo entre u e v é agudo.
  • Se u cdot v < 0, então o ângulo entre u e v é obtuso.

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