Seja
o conjunto de todos os pares ordenados de números reais e considere as operações de adição e multiplicação por escalar definidas para
e
; por (Soma +)
e (produto escalar)
Mostre que valem os Axiomas 5,6,e 7 .
Mostre que valem os Axiomas 5,6,e 7 .
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver um exercício de Álgebra Linear. A questão nos pede para mostrar que certas regras (chamadas de Axiomas 5, 6 e 7) valem para operações de adição e multiplicação por escalar definidas em pares de números reais. Vamos precisar entender o que são esses axiomas e aplicar às operações dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como são definidas as operações:
- Soma: Se temos dois vetores
e , a soma deles é . - Multiplicação por escalar: Se multiplicamos um vetor
por um número real , o resultado é .
Passo 3
Vamos começar verificando o Axioma 5, que geralmente trata da existência de inversos aditivos. Isso significa que para qualquer vetor
, deve existir um vetor
tal que
, onde
é o vetor zero.
Passo 4
Para nosso caso, o vetor zero é
. Vamos encontrar
:
Agora, somando:
Então, o Axioma 5 é satisfeito.
Então, o Axioma 5 é satisfeito.
Passo 5
Agora, vamos para o Axioma 6, que geralmente envolve a compatibilidade da multiplicação por escalar com a multiplicação de números reais. Isso quer dizer que para quaisquer escalares
e
, temos
.
Passo 6
Vamos verificar:
Por outro lado:
Como os dois resultados são iguais, o Axioma 6 é válido.
Por outro lado:
Como os dois resultados são iguais, o Axioma 6 é válido.
Passo 7
Por último, vamos verificar o Axioma 7, que geralmente trata da distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores. Ou seja,
.
Passo 8
Primeiro, calculamos
:
Agora, multiplicando por :
Agora, multiplicando por
Por outro lado:
Como os dois lados são iguais, o Axioma 7 está confirmado.
Resposta
Mostramos que os Axiomas 5, 6 e 7 são válidos para as operações definidas, confirmando que as regras estão satisfeitas.
Exercícios relacionados
Prove por indução que:
Mostre que para todo
:
Seja
o conjunto de todos os pares ordenados de números reais e considere as operações de adição e multiplicação por escalar definidas para
e
; por (Soma + )
e (produto escalar)
(
)
Encontre dois axiomas de espaço vetorial que não sejam válidos.
Encontre dois axiomas de espaço vetorial que não sejam válidos.
Encontre um polinômio cúbico (grau 3) cujo gráfico passa pelos pontos (1, 3), (2,-2), (3,
e
.