Seja V o conjunto de todos os pares ordenados de números reais e considere as operações de adição e multiplicação por escalar definidas para u=(u1, u2) e v= (v1, v2); por (Soma +) u+v=(u1+v1, u2+v2) e (produto escalar) alpha cdot u=(0, alpha u2)
Mostre que valem os Axiomas 5,6,e 7 .

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver um exercício de Álgebra Linear. A questão nos pede para mostrar que certas regras (chamadas de Axiomas 5, 6 e 7) valem para operações de adição e multiplicação por escalar definidas em pares de números reais. Vamos precisar entender o que são esses axiomas e aplicar às operações dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como são definidas as operações:
  • Soma: Se temos dois vetores u = (u1, u2) e v = (v1, v2), a soma deles é u + v = (u1+v1, u2+v2).
  • Multiplicação por escalar: Se multiplicamos um vetor u = (u1, u2) por um número real alpha, o resultado é alpha cdot u = (0, alpha u2).

Passo 3

Vamos começar verificando o Axioma 5, que geralmente trata da existência de inversos aditivos. Isso significa que para qualquer vetor u, deve existir um vetor -u tal que u + (-u) = 0, onde 0 é o vetor zero.

Passo 4

Para nosso caso, o vetor zero é 0 = (0, 0). Vamos encontrar -u:
u = (u1, u2)
-u = (-u1, -u2)
Agora, somando:
u + (-u) = (u1 - u1, u2 - u2) = (0, 0) = 0
Então, o Axioma 5 é satisfeito.

Passo 5

Agora, vamos para o Axioma 6, que geralmente envolve a compatibilidade da multiplicação por escalar com a multiplicação de números reais. Isso quer dizer que para quaisquer escalares alpha e beta, temos alpha(beta cdot u) = (alphabeta) cdot u.

Passo 6

Vamos verificar:
alpha(beta cdot u) = alpha(0, beta u2) = (0, alpha (beta u2)) = (0, (alphabeta) u2)
Por outro lado:
(alphabeta) cdot u = (0, (alphabeta) u2)
Como os dois resultados são iguais, o Axioma 6 é válido.

Passo 7

Por último, vamos verificar o Axioma 7, que geralmente trata da distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores. Ou seja, alpha cdot (u + v) = alpha cdot u + alpha cdot v.

Passo 8

Primeiro, calculamos u + v:
u + v = (u1+v1, u2+v2)
Agora, multiplicando por alpha:
alpha cdot (u + v) = (0, alpha (u2+v2)) = (0, alpha u2 + alpha v2)
Por outro lado:
alpha cdot u + alpha cdot v = (0, alpha u2) + (0, alpha v2) = (0 + 0, alpha u2 + alpha v2) = (0, alpha u2 + alpha v2)
Como os dois lados são iguais, o Axioma 7 está confirmado.

Resposta

Mostramos que os Axiomas 5, 6 e 7 são válidos para as operações definidas, confirmando que as regras estão satisfeitas.

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