Seja
o conjunto de todos os pares ordenados de números reais e considere as operações de adição e multiplicação por escalar definidas para
e
; por (Soma + )
e (produto escalar)
(
)
Encontre dois axiomas de espaço vetorial que não sejam válidos.
Encontre dois axiomas de espaço vetorial que não sejam válidos.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos o conjunto
que consiste em todos os pares ordenados de números reais. As operações de adição e multiplicação por escalar estão definidas de uma maneira diferente do usual:
- Soma: Para
e , a soma é . - Produto escalar: Para um escalar
, temos .
Queremos encontrar dois axiomas de espaço vetorial que não são válidos com essas definições. Para isso, precisamos conhecer os axiomas que um espaço vetorial deve satisfazer e verificar quais deles não funcionam com as operações dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar alguns axiomas de espaço vetorial:
- Comutatividade da soma:
. - Associatividade da soma:
. - Existência do elemento neutro (zero): Existe um vetor
tal que . - Existência de inversos aditivos: Para todo
, existe tal que . - Distribuição da multiplicação escalar em relação à soma vetorial:
. - Distribuição da multiplicação escalar em relação à soma de escalares:
. - Compatibilidade da multiplicação escalar:
. - Elemento neutro da multiplicação escalar:
.
Vamos verificar quais desses axiomas não se mantêm com as operações definidas no exercício.
Passo 3
Primeiro Axioma que não vale: Distribuição da multiplicação escalar em relação à soma vetorial
Vamos verificar se
.
Calculando cada lado:
-
Lado esquerdo:
-
Lado direito:
Comparando os dois lados:
A diferença está no termo “+1” que aparece no lado direito, tornando a igualdade inválida. Portanto, este axioma não é válido.
Passo 4
Segundo Axioma que não vale: Distribuição da multiplicação escalar em relação à soma de escalares
Vamos verificar se
.
Calculando cada lado:
-
Lado esquerdo:
-
Lado direito:
Comparando os dois lados:
Mais uma vez, o “+1” faz com que a igualdade não seja verdadeira. Assim, este axioma também não é válido.
Resposta
Os dois axiomas de espaço vetorial que não são válidos para as operações definidas são:
- Distribuição da multiplicação escalar em relação à soma vetorial:
. - Distribuição da multiplicação escalar em relação à soma de escalares:
.
Exercícios relacionados
Seja
o conjunto de todos os pares ordenados de números reais e considere as operações de adição e multiplicação por escalar definidas para
e
; por (Soma +)
e (produto escalar)
Mostre que valem os Axiomas 5,6,e 7 .
Mostre que valem os Axiomas 5,6,e 7 .
Prove por indução que:
Encontre um polinômio cúbico (grau 3) cujo gráfico passa pelos pontos (1, 3), (2,-2), (3,
e
.
Para cada vetor
de coordenadas definidas abaixo, calcule o valor do escalar
tal que o vetor
definido por
tenha a norma pedida.
e