Prove por indução que, para qualquer n in N : (1+11)(1+12)^2 cdots(1+1n-1)^n-1=n^n-1(n-1)!, n >= 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de matemática, mais especificamente de indução matemática. A ideia é provar que uma certa fórmula vale para todo número natural maior ou igual a 2. Para isso, vamos precisar entender como funciona a indução matemática e aplicar alguns cálculos com frações e fatorial. Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que precisa ser provado. Queremos mostrar que para qualquer (1+11)(1+12)^2 cdots(1+1n-1)^n-1 = n^n-1(n-1)! , a expressão:
é verdadeira. Indução matemática envolve dois passos principais: a base da indução e o passo indutivo.

Passo 3

Passo 1: Base da Indução
Vamos verificar se a fórmula funciona para (1+11) = 2 .
Substituindo 2^2-1(2-1)! = 2^11! = 21 = 2 na expressão da esquerda:
Agora, na expressão da direita:
Como as duas expressões são iguais (2 = 2), a base da indução é válida.

Passo 4

Passo 2: Passo Indutivo
Agora, vamos supor que a fórmula é verdadeira para algum (1+11)(1+12)^2 cdots(1+1k-1)^k-1 = k^k-1(k-1)! . Ou seja, assumimos que:
Essa suposição é chamada de hipótese de indução. Nosso objetivo é mostrar que, se isso é verdadeiro para , então também será verdadeiro para .

Passo 5

Passo 3: Mostrar para (1+11)(1+12)^2 cdots(1+1k)^k
Vamos considerar a expressão para [(1+11)(1+12)^2 cdots(1+1k-1)^k-1] times (1+1k)^k :
k^k-1(k-1)! times (1+1k)^k
Podemos reescrever isso como:
Usando a hipótese de indução, substituímos a parte em colchetes:

Passo 6

Passo 4: Simplificando a Expressão
Vamos simplificar (1+1k)^k = (k+1k)^k = (k+1)^kk^k :
k^k-1(k-1)! times (k+1)^kk^k = (k+1)^kk cdot (k-1)!
Substituindo de volta na expressão anterior:
(k+1)^kk!
Note que , então:
Queremos mostrar que isso é igual a , que é exatamente o que obtivemos. Portanto, a fórmula vale para .

Resposta

Assim, por indução matemática, mostramos que para todo (1+11)(1+12)^2 cdots(1+1n-1)^n-1 = n^n-1(n-1)! :

Exercícios relacionados

Prove por indução que, para qualquer n in N : 3^0+3^1+3^2+cdots+3^n-1=3^n-12
Prove por indução que, para qualquer n in N : 1(1 ! )+2(2 ! )+3(3!)+cdots+n(n!)=(n+1)!-1
Prove por indução que: Para qualquer natural n >= 1, vale 2^n>n
Mostrar que, para qualquer n in N : 4^n+15 n-1 é divisível por 9 .