Prove por indução que, para qualquer
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de matemática, mais especificamente de indução matemática. A ideia é provar que uma certa fórmula vale para todo número natural
maior ou igual a 2. Para isso, vamos precisar entender como funciona a indução matemática e aplicar alguns cálculos com frações e fatorial. Vamos resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que precisa ser provado. Queremos mostrar que para qualquer
, a expressão:
é verdadeira. Indução matemática envolve dois passos principais: a base da indução e o passo indutivo.
Passo 3
Passo 1: Base da Indução
Vamos verificar se a fórmula funciona para
.
Substituindo
na expressão da esquerda:
Agora, na expressão da direita:
Como as duas expressões são iguais (2 = 2), a base da indução é válida.
Passo 4
Passo 2: Passo Indutivo
Agora, vamos supor que a fórmula é verdadeira para algum
. Ou seja, assumimos que:
Essa suposição é chamada de hipótese de indução. Nosso objetivo é mostrar que, se isso é verdadeiro para
, então também será verdadeiro para
.
Passo 5
Passo 3: Mostrar para
Vamos considerar a expressão para
:
Podemos reescrever isso como:
Usando a hipótese de indução, substituímos a parte em colchetes:
Passo 6
Passo 4: Simplificando a Expressão
Vamos simplificar
:
Substituindo de volta na expressão anterior:
Note que
, então:
Queremos mostrar que isso é igual a
, que é exatamente o que obtivemos. Portanto, a fórmula vale para
.
Resposta
Assim, por indução matemática, mostramos que para todo
:
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!
!
Prove por indução que: Para qualquer natural
, vale
Mostrar que, para qualquer
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é divisível por 9 .