Prove por indução que, para qualquer
:
Passo 1
Vamos resumir o problema: precisamos provar, usando indução matemática, que para qualquer número natural
, a soma
é igual a
. Para isso, vamos utilizar o princípio da indução, que envolve verificar um caso base e depois mostrar que, se a afirmação vale para um caso qualquer
, também vale para
.
Passo 2
Caso Base: Vamos verificar se a fórmula funciona para
.
Calculando a soma:
E usando a fórmula:
Como ambos os lados são iguais, o caso base está correto.
Passo 3
Hipótese de Indução: Vamos supor que a fórmula seja verdadeira para algum
, ou seja:
Essa suposição é a base para provarmos o próximo passo.
Passo 4
Passo Indutivo: Precisamos mostrar que, se a fórmula vale para
, então ela também vale para
.
Vamos calcular a soma para
:
Usando a hipótese de indução:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão:
Isso mostra que a fórmula também é válida para
.
Passo 6
Como mostramos que:
- A fórmula é verdadeira para
(caso base). - Se é verdadeira para
, então também é verdadeira para (passo indutivo).
Pelo princípio da indução matemática, a fórmula é válida para todo número natural
.
Resposta
A soma
é igual a
para qualquer
.
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Prove por indução que: Para qualquer natural
, vale