Prove por indução que, para qualquer n in N : 3^0+3^1+3^2+cdots+3^n-1=3^n-12

Passo 1

Vamos resumir o problema: precisamos provar, usando indução matemática, que para qualquer número natural , a soma é igual a . Para isso, vamos utilizar o princípio da indução, que envolve verificar um caso base e depois mostrar que, se a afirmação vale para um caso qualquer , também vale para .

Passo 2

Caso Base: Vamos verificar se a fórmula funciona para 3^0 = 1 .
Calculando a soma:
3^1 - 12 = 3 - 12 = 22 = 1
E usando a fórmula:
Como ambos os lados são iguais, o caso base está correto.

Passo 3

Hipótese de Indução: Vamos supor que a fórmula seja verdadeira para algum 3^0 + 3^1 + 3^2 + cdots + 3^k-1 = 3^k - 12 , ou seja:
Essa suposição é a base para provarmos o próximo passo.

Passo 4

Passo Indutivo: Precisamos mostrar que, se a fórmula vale para 3^0 + 3^1 + 3^2 + cdots + 3^k-1 + 3^k , então ela também vale para 3^k - 12 + 3^k .
Vamos calcular a soma para :
Usando a hipótese de indução:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
3^k - 12 + 3^k = 3^k - 1 + 2 cdot 3^k2 = 3^k(1 + 2) - 12 = 3^k+1 - 12
Isso mostra que a fórmula também é válida para .

Passo 6

Como mostramos que:
  1. A fórmula é verdadeira para (caso base).
  2. Se é verdadeira para , então também é verdadeira para (passo indutivo).
Pelo princípio da indução matemática, a fórmula é válida para todo número natural .

Resposta

A soma é igual a para qualquer .

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