Prove por indução que, para qualquer
:
!
!
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos provar, usando indução matemática, que para qualquer número natural
, a soma
é igual a
. Para isso, vamos precisar entender o que é indução matemática e como trabalhamos com fatoriais.
Passo 2
Base da Indução:
Primeiro, vamos verificar se a fórmula funciona para o menor valor de
, que é 1.
Calculando o lado esquerdo da igualdade:
Calculando o lado direito da igualdade:
Como ambos os lados são iguais (
), a base da indução está correta.
Passo 3
Passo Indutivo:
Agora, vamos assumir que a fórmula funciona para algum número natural
. Ou seja, vamos supor que:
Esta é a nossa hipótese de indução.
Passo 4
Provar para
:
Precisamos mostrar que, se a hipótese de indução é verdadeira para
, então ela também é verdadeira para
. Ou seja, queremos provar que:
Simplificando o lado direito:
Passo 5
Usando a Hipótese de Indução:
Sabemos pela hipótese de indução que:
Então, adicionando
aos dois lados:
Passo 6
Fatorando
:
Vamos fatorar
no lado esquerdo:
Sabemos que:
Portanto:
Passo 7
Conclusão:
Mostramos que:
O que é exatamente o que queríamos provar para
.
Resposta
Assim, por indução matemática, provamos que para qualquer
:
Exercícios relacionados
Prove por indução que, para qualquer
:
Prove por indução que, para qualquer
:
Prove por indução que, para qualquer
:
Prove por indução que, para qualquer
: