Prove por indução que, para qualquer n in N : 1(1 ! )+2(2 ! )+3(3!)+cdots+n(n!)=(n+1)!-1

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos provar, usando indução matemática, que para qualquer número natural , a soma é igual a . Para isso, vamos precisar entender o que é indução matemática e como trabalhamos com fatoriais.

Passo 2

Base da Indução:
Primeiro, vamos verificar se a fórmula funciona para o menor valor de 1(1!) = 1 times 1 = 1 , que é 1.
Calculando o lado esquerdo da igualdade:
(1 + 1)! - 1 = 2! - 1 = 2 - 1 = 1
Calculando o lado direito da igualdade:
Como ambos os lados são iguais ( ), a base da indução está correta.

Passo 3

Passo Indutivo:
Agora, vamos assumir que a fórmula funciona para algum número natural 1(1!) + 2(2!) + 3(3!) + cdots + k(k!) = (k + 1)! - 1 . Ou seja, vamos supor que:
Esta é a nossa hipótese de indução.

Passo 4

Provar para 1(1!) + 2(2!) + 3(3!) + cdots + k(k!) + (k+1)(k+1)! = ((k+1) + 1)! - 1 :
Precisamos mostrar que, se a hipótese de indução é verdadeira para ((k+1) + 1)! - 1 = (k + 2)! - 1 , então ela também é verdadeira para . Ou seja, queremos provar que:
Simplificando o lado direito:

Passo 5

Usando a Hipótese de Indução:
Sabemos pela hipótese de indução que:
1(1!) + 2(2!) + 3(3!) + cdots + k(k!) = (k + 1)! - 1
Então, adicionando (k + 1)! - 1 + (k+1)(k+1)! aos dois lados:

Passo 6

Fatorando (k + 1)! [1 + (k + 1)] - 1 = (k + 1)! (k + 2) - 1 :
Vamos fatorar (k + 1)! (k + 2) = (k + 2)! no lado esquerdo:
(k + 2)! - 1
Sabemos que:
Portanto:

Passo 7

Conclusão:
Mostramos que:
1(1!) + 2(2!) + 3(3!) + cdots + k(k!) + (k+1)(k+1)! = (k + 2)! - 1
O que é exatamente o que queríamos provar para .

Resposta

Assim, por indução matemática, provamos que para qualquer 1(1!) + 2(2!) + 3(3!) + cdots + n(n!) = (n + 1)! - 1 :

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