Prove, usando indução, que para qualquer n natural, prodi=1^n ai^m=(prodi=1^n ai)^m

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar, usando indução, que para qualquer número natural , a expressão é igual a . Isso está relacionado ao conteúdo de propriedades de potências e produtos. Vamos precisar entender como funciona a indução matemática para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a expressão significa. O símbolo representa um produto, então estamos multiplicando cada elevado à potência de 1 até . Por outro lado, significa que primeiro multiplicamos todos os juntos e depois elevamos o resultado à potência . Queremos provar que essas duas formas são iguais.

Passo 3

Vamos usar a indução matemática, que tem dois passos principais: a base da indução e o passo indutivo. Na base da indução, verificamos se a afirmação vale para um caso inicial, geralmente . No passo indutivo, assumimos que a afirmação é verdadeira para algum e depois mostramos que ela também é verdadeira para .

Passo 4

Base da Indução ( prodi=1^1 ai^m = a1^m ):
Quando (prodi=1^1 ai)^m = (a1)^m , a expressão original fica:
E a expressão que queremos provar fica:
Ambas as expressões são iguais, então a base da indução está comprovada.

Passo 5

Passo Indutivo:
Agora, suponha que a afirmação seja verdadeira para prodi=1^k ai^m = (prodi=1^k ai)^m , ou seja:
prodi=1^k+1 ai^m = ( prodi=1^k ai^m ) times ak+1^m
Precisamos mostrar que a afirmação também é válida para (prodi=1^k ai)^m times ak+1^m = (prodi=1^k ai times ak+1)^m = (prodi=1^k+1 ai)^m .
Consideremos :
Pela hipótese de indução, sabemos que . Substituindo:
Portanto, a afirmação é verdadeira para .

Resposta

Assim, por indução matemática, provamos que para todo número natural , é verdade!

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