Prove, usando indução, que para qualquer n natural,
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar, usando indução, que para qualquer número natural
, a expressão
é igual a
. Isso está relacionado ao conteúdo de propriedades de potências e produtos. Vamos precisar entender como funciona a indução matemática para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a expressão
significa. O símbolo
representa um produto, então estamos multiplicando cada
elevado à potência
de 1 até
. Por outro lado,
significa que primeiro multiplicamos todos os
juntos e depois elevamos o resultado à potência
. Queremos provar que essas duas formas são iguais.
Passo 3
Vamos usar a indução matemática, que tem dois passos principais: a base da indução e o passo indutivo. Na base da indução, verificamos se a afirmação vale para um caso inicial, geralmente
. No passo indutivo, assumimos que a afirmação é verdadeira para algum
e depois mostramos que ela também é verdadeira para
.
Passo 4
Base da Indução (
):
Quando
, a expressão original fica:
E a expressão que queremos provar fica:
Ambas as expressões são iguais, então a base da indução está comprovada.
Passo 5
Passo Indutivo:
Agora, suponha que a afirmação seja verdadeira para
, ou seja:
Precisamos mostrar que a afirmação também é válida para
.
Consideremos
:
Pela hipótese de indução, sabemos que
. Substituindo:
Portanto, a afirmação é verdadeira para
.
Resposta
Assim, por indução matemática, provamos que para todo número natural
,
é verdade!