Seja V um espaço vetorial real munido de um produto interno e sejam u, v in V. Considere as seguintes relações envolvendo o produto interno e a norma em V:
(A) |u|=|v| ;
(I) lang<= u, vrang<==|u||v|;
(B) |u+v|^2=|u|^2+|v|^2 ;
(II) lang<= u+v, u-vrang<==0;
© |u+v|=|u|+|v|
(III) lang<= u, vrang<==0.
Assinale a alternativa contendo equivalências corretas:
(a) ()(A) Leftrightarrow (III),
(B) Leftrightarrow (II),
© Leftrightarrow(I).
(b) ( (A) Leftrightarrow (II),
(B) Leftrightarrow(I),
© Leftrightarrow (III).
© ()(A) Leftrightarrow(I),
(B) Leftrightarrow (III),
© Leftrightarrow (II).
(d) ( (A) Leftrightarrow (II),
(B) Leftrightarrow (III),
© Leftrightarrow (I).
(e) ()(A) Leftrightarrow(I),
(B) Leftrightarrow (II),
© Leftrightarrow (III).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um espaço vetorial real com um produto interno. Temos dois vetores e nesse espaço e algumas relações envolvendo as normas desses vetores e seus produtos internos. Nosso objetivo é identificar quais dessas relações são equivalentes entre si, escolhendo a alternativa correta entre as opções (a) a (e).
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de produto interno, norma e como eles se relacionam. Vamos passo a passo analisar cada relação para ver quais equivalências fazem sentido.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que cada relação representa:
  • (A) : As normas (ou comprimentos) dos vetores e são iguais.
  • (I) : O produto interno de e é igual ao produto das suas normas. Isso acontece quando os vetores são paralelos e têm a mesma direção.
  • (B) : O quadrado da norma da soma dos vetores é igual à soma dos quadrados das normas. Isso ocorre se e somente se e são ortogonais.
  • (II) : O produto interno entre e é zero, indicando que essas duas combinações de vetores são ortogonais.
  • © : A norma da soma dos vetores é igual à soma das normas. Isso acontece quando os vetores são paralelos e apontam na mesma direção.
  • (III) : O produto interno de e é zero, ou seja, os vetores são ortogonais.

Passo 3

Agora, vamos verificar as equivalências propostas em cada alternativa:

Alternativa (a)

  • : Isso não faz sentido porque não implica que . Vetores com a mesma norma podem ou não ser ortogonais.
  • : Vazão. Precisamos analisar.
  • : Não exatamente, já que implica que os vetores são paralelos e na mesma direção, o que está relacionado à , mas não é uma equivalência direta.

Alternativa (b)

  • : Não há relação direta entre normas iguais e a condição .
  • : Não é equivalente. está relacionado à ortogonalidade, enquanto à paralelismo.
  • : Não diretamente equivalente.

Alternativa ©

  • : Não são equivalentes.
  • : Isso está correto, pois significa que os vetores são ortogonais, o que é exatamente .
  • : Não são equivalentes.

Alternativa (d)

  • : Não corresponde.
  • : Correto, já que indica ortogonalidade, que é .
  • : Correto, pois quando , os vetores são paralelos e .

Alternativa (e)

  • : Não são equivalentes.
  • : Não exatamente.
  • : Não são equivalentes.

Passo 4

Analisando todas as alternativas, a Alternativa (d) é a que apresenta as equivalências corretas:
  • : Perfeito para vetores ortogonais.
  • : Correto para vetores paralelos.

Resposta

A alternativa correta é a (d):
  • ,
  • .

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