Seja V um espaço vetorial real munido de um produto interno e sejam
. Considere as seguintes relações envolvendo o produto interno e a norma em V:
(A)
(I)
;
(B)
(II)
;
©
(III)
.
Assinale a alternativa contendo equivalências corretas:
(a)
(III),
(B)
(II),
©
.
(b) (
(A)
(II),
(B)
,
©
(III).
©
,
(B)
(III),
©
(II).
(d) (
(A)
(II),
(B)
(III),
©
(I).
(e)
,
(B)
(II),
©
(III).
(A)
(I)
(B)
(II)
©
(III)
Assinale a alternativa contendo equivalências corretas:
(a)
(B)
©
(b) (
(B)
©
©
(B)
©
(d) (
(B)
©
(e)
(B)
©
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um espaço vetorial real com um produto interno. Temos dois vetores
e
nesse espaço e algumas relações envolvendo as normas desses vetores e seus produtos internos. Nosso objetivo é identificar quais dessas relações são equivalentes entre si, escolhendo a alternativa correta entre as opções (a) a (e).
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de produto interno, norma e como eles se relacionam. Vamos passo a passo analisar cada relação para ver quais equivalências fazem sentido.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que cada relação representa:
- (A)
: As normas (ou comprimentos) dos vetores e são iguais. - (I)
: O produto interno de e é igual ao produto das suas normas. Isso acontece quando os vetores são paralelos e têm a mesma direção. - (B)
: O quadrado da norma da soma dos vetores é igual à soma dos quadrados das normas. Isso ocorre se e somente se e são ortogonais. - (II)
: O produto interno entre e é zero, indicando que essas duas combinações de vetores são ortogonais. - ©
: A norma da soma dos vetores é igual à soma das normas. Isso acontece quando os vetores são paralelos e apontam na mesma direção. - (III)
: O produto interno de e é zero, ou seja, os vetores são ortogonais.
Passo 3
Agora, vamos verificar as equivalências propostas em cada alternativa:
Alternativa (a)
-
: Isso não faz sentido porque não implica que . Vetores com a mesma norma podem ou não ser ortogonais. -
: Vazão. Precisamos analisar. -
: Não exatamente, já que implica que os vetores são paralelos e na mesma direção, o que está relacionado à , mas não é uma equivalência direta.
Alternativa (b)
-
: Não há relação direta entre normas iguais e a condição . -
: Não é equivalente. está relacionado à ortogonalidade, enquanto à paralelismo. -
: Não diretamente equivalente.
Alternativa ©
-
: Não são equivalentes. -
: Isso está correto, pois significa que os vetores são ortogonais, o que é exatamente . -
: Não são equivalentes.
Alternativa (d)
-
: Não corresponde. -
: Correto, já que indica ortogonalidade, que é . -
: Correto, pois quando , os vetores são paralelos e .
Alternativa (e)
-
: Não são equivalentes. -
: Não exatamente. -
: Não são equivalentes.
Passo 4
Analisando todas as alternativas, a Alternativa (d) é a que apresenta as equivalências corretas:
-
: Perfeito para vetores ortogonais. -
: Correto para vetores paralelos.
Resposta
A alternativa correta é a (d):
-
, -
.