Seja
um espaço métrico. Mostre que: Se
são abertos, então
é aberto.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que, em um espaço métrico
, se tivermos
que são abertos, então a interseção desses conjuntos,
, também é aberto. Vamos usar conceitos de topologia básica, principalmente a definição de conjunto aberto e propriedades da topologia em espaços métricos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto ser aberto em um espaço métrico. Um conjunto
é aberto se, para todo ponto
em
, existe um raio
tal que a bola aberta
está totalmente contida em
.
Passo 3
Agora, queremos provar que
é aberto. Para isso, vamos pegar um ponto qualquer
em
e mostrar que existe um
tal que
.
Passo 4
Como
está em
, ele está em cada um dos
para
. Já que cada
é aberto, para cada
, existe um
tal que
.
Passo 5
Agora, vamos definir
como o mínimo entre todos os
:
Esse
garante que a bola
está contida em cada
.
Passo 6
Portanto, a bola
está contida em todos os
, o que significa que
.
Resposta
Assim, mostramos que para todo ponto
em
, existe uma bola aberta
totalmente contida em
. Portanto,
é um conjunto aberto.