Seja M, d um espaço métrico. Mostre que: Se A1, A2, ..., An são abertos, então A = interseccao(k=1, n) A_k é aberto.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que, em um espaço métrico , se tivermos que são abertos, então a interseção desses conjuntos, , também é aberto. Vamos usar conceitos de topologia básica, principalmente a definição de conjunto aberto e propriedades da topologia em espaços métricos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto ser aberto em um espaço métrico. Um conjunto é aberto se, para todo ponto em , existe um raio tal que a bola aberta está totalmente contida em .

Passo 3

Agora, queremos provar que é aberto. Para isso, vamos pegar um ponto qualquer em e mostrar que existe um tal que .

Passo 4

Como está em , ele está em cada um dos para . Já que cada é aberto, para cada , existe um tal que .

Passo 5

Agora, vamos definir como o mínimo entre todos os :
Esse garante que a bola está contida em cada .

Passo 6

Portanto, a bola está contida em todos os , o que significa que .

Resposta

Assim, mostramos que para todo ponto em , existe uma bola aberta totalmente contida em . Portanto, é um conjunto aberto.

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