Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que, se é um espaço discreto e é um subconjunto de , então a fronteira de , denotada por , é vazia.
Aqui estamos lidando com conceitos de topologia, que estuda as propriedades dos espaços que são preservadas através de deformações contínuas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um espaço discreto, o que é a fronteira de um conjunto e como esses conceitos se relacionam.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um espaço discreto. Em topologia, um espaço discreto é aquele em que todos os subconjuntos são abertos. Isso significa que para qualquer ponto em , o conjunto é um conjunto aberto.
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que é a fronteira de um conjunto. A fronteira de , , consiste em todos os pontos que estão tanto na aderência de quanto na aderência do complemento de . Em outras palavras, são os pontos onde “encontra” o que não está em .
Matematicamente, .
Passo 4
No caso de um espaço discreto, como todos os subconjuntos são abertos, as aderências de X e de M setminus X são simplesmente X e M setminus X, respectivamente. Isso ocorre porque em espaços discretos, todo conjunto é fechado também.
Então, temos:
X = X e M setminus X = M setminus X
Passo 5
Substituindo na expressão da fronteira, temos:
partial X = X cap (M setminus X)
Mas X cap (M setminus X) é igual ao conjunto vazio, já que um conjunto e seu complemento não têm elementos em comum.
Passo 6
Portanto, concluímos que:
partial X = varnothing
Resposta
A fronteira de X em um espaço discreto (M, d) é vazia, ou seja, partial X = varnothing.