Mostre que: Se (M, d) é um espaço discreto e X subset M, então partial X=varnothing.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que, se (M, d) é um espaço discreto e X é um subconjunto de M, então a fronteira de X, denotada por partial X, é vazia.
Aqui estamos lidando com conceitos de topologia, que estuda as propriedades dos espaços que são preservadas através de deformações contínuas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um espaço discreto, o que é a fronteira de um conjunto e como esses conceitos se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um espaço discreto. Em topologia, um espaço discreto é aquele em que todos os subconjuntos são abertos. Isso significa que para qualquer ponto x em M, o conjunto x é um conjunto aberto.

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que é a fronteira de um conjunto. A fronteira de X, partial X, consiste em todos os pontos que estão tanto na aderência de X quanto na aderência do complemento de X. Em outras palavras, são os pontos onde X “encontra” o que não está em X.
Matematicamente, partial X = X cap M setminus X.

Passo 4

No caso de um espaço discreto, como todos os subconjuntos são abertos, as aderências de X e de M setminus X são simplesmente X e M setminus X, respectivamente. Isso ocorre porque em espaços discretos, todo conjunto é fechado também.
Então, temos:
X = X e M setminus X = M setminus X

Passo 5

Substituindo na expressão da fronteira, temos:
partial X = X cap (M setminus X)
Mas X cap (M setminus X) é igual ao conjunto vazio, já que um conjunto e seu complemento não têm elementos em comum.

Passo 6

Portanto, concluímos que:
partial X = varnothing

Resposta

A fronteira de X em um espaço discreto (M, d) é vazia, ou seja, partial X = varnothing.

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