Use indução para demonstrar os seguintes fatos:
.
Passo 1
Vamos provar que a soma
é menor ou igual a
para todo
usando indução matemática. Precisamos entender o que é indução e como aplicá-la para demonstrar essa desigualdade.
Passo 2
Base da Indução: Primeiro, vamos verificar se a afirmação é verdadeira para
.
Quando
, a soma é só
.
E
.
Como
, a base da indução está ok.
Passo 3
Hipótese de Indução: Agora, vamos supor que a afirmação vale para algum número
, ou seja,
Passo 4
Passo Indutivo: Precisamos mostrar que, se a hipótese é verdadeira para
, então ela também vale para
. Queremos provar que:
Passo 5
Vamos partir da hipótese de indução:
Agora, somamos
aos dois lados:
Passo 6
Precisamos mostrar que:
Vamos rearranjar a desigualdade:
Sabemos que
. Então:
Multiplicando ambos os lados por
(que é positivo):
Isso é verdadeiro, então a desigualdade original também é verdadeira.
Resposta
Portanto, por indução matemática, para todo
:
Exercícios relacionados
Use indução para demonstrar os seguintes fatos:
;
Prove que se
e
, então
.
Um elemento
chama-se antecessor de
quando se tem
mas não existe
tal que
. Prove que, exceto 1 , todo número natural possui um antecessor.
Use indução para demonstrar os seguintes fatos:
, seja quais forem
;