Prove, para
, as seguintes proposições:
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é para provar que a soma dos primeiros
números ímpares, ou seja,
, é igual a
. Vamos precisar usar um método chamado indução matemática, que é uma técnica bacana para provar afirmações que valem para todos os números naturais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é indução matemática. Basicamente, é como escalar uma escada: você prova que o primeiro degrau está firme (base da indução) e que, se você subiu para um degrau qualquer, você também pode subir para o próximo. Assim, você garante que todos os degraus estão firmes.
Passo 3
Vamos começar pela base da indução, que geralmente é o caso mais simples, geralmente
. Vamos verificar se a afirmação funciona para
.
Passo 4
Para
:
Viu só? Está certinho! A base da indução está confirmada.
Passo 5
Agora, vamos para o passo indutivo. A ideia é assumir que a afirmação é verdadeira para algum
natural, ou seja:
Essa suposição é chamada de hipótese de indução.
Passo 6
Com a hipótese de indução, precisamos mostrar que a afirmação também é verdadeira para
, ou seja:
Vamos adicionar o próximo número ímpar
à soma.
Passo 7
Usando a hipótese de indução:
Agora, simplificamos o lado direito:
Isso mostra que, se a afirmação é verdadeira para
, também é verdadeira para
.
Passo 8
Como comprovamos a base da indução e mostramos que se funciona para
, funciona para
, pela indução matemática, a afirmação é verdadeira para todo
.
Resposta
Portanto, provamos que
para todo número natural
.