Prove, para n in N, as seguintes proposições: 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n^2

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é para provar que a soma dos primeiros números ímpares, ou seja, , é igual a . Vamos precisar usar um método chamado indução matemática, que é uma técnica bacana para provar afirmações que valem para todos os números naturais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é indução matemática. Basicamente, é como escalar uma escada: você prova que o primeiro degrau está firme (base da indução) e que, se você subiu para um degrau qualquer, você também pode subir para o próximo. Assim, você garante que todos os degraus estão firmes.

Passo 3

Vamos começar pela base da indução, que geralmente é o caso mais simples, geralmente . Vamos verificar se a afirmação funciona para .

Passo 4

Para :
Viu só? Está certinho! A base da indução está confirmada.

Passo 5

Agora, vamos para o passo indutivo. A ideia é assumir que a afirmação é verdadeira para algum natural, ou seja:
Essa suposição é chamada de hipótese de indução.

Passo 6

Com a hipótese de indução, precisamos mostrar que a afirmação também é verdadeira para , ou seja:
Vamos adicionar o próximo número ímpar à soma.

Passo 7

Usando a hipótese de indução:
Agora, simplificamos o lado direito:
Isso mostra que, se a afirmação é verdadeira para , também é verdadeira para .

Passo 8

Como comprovamos a base da indução e mostramos que se funciona para , funciona para , pela indução matemática, a afirmação é verdadeira para todo .

Resposta

Portanto, provamos que para todo número natural .

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