Prove, para
, as seguintes proposições:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para provar que, para todo número natural
, a soma
é igual a
. Esse problema envolve a matéria de matemática discreta, especificamente trabalhando com fatorial e séries. Para resolver, vamos precisar entender como manipular expressões fatoriais e somas de termos que envolvem fatoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa o fatorial de um número. Para um inteiro positivo
,
é o produto de todos os inteiros de 1 até
:
Além disso, sabemos que
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a soma
. Podemos reescrever cada termo da soma usando a relação entre
e
:
Isso porque:
Portanto:
Passo 4
Vamos substituir cada termo da soma
usando essa relação:
Observamos que muitos termos se cancelam quando somamos:
Simplificando, restam apenas:
Resposta
Portanto, provamos que:
Exercícios relacionados
Prove, para
, as seguintes proposições:
Prove, usando indução, que o número de diagonais,
, de um polígono convexo de
lados é dado pela expressão:
Prove, para
, as seguintes proposições:
Prove, para
, as seguintes proposições: