Prove, para n in N, as seguintes proposições: 1.1! + 2.2! + 3.3! + ... + n * n! = (n + 1)! - 1

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para provar que, para todo número natural , a soma é igual a . Esse problema envolve a matéria de matemática discreta, especificamente trabalhando com fatorial e séries. Para resolver, vamos precisar entender como manipular expressões fatoriais e somas de termos que envolvem fatoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa o fatorial de um número. Para um inteiro positivo , é o produto de todos os inteiros de 1 até :
Além disso, sabemos que .

Passo 3

Agora, vamos analisar a soma . Podemos reescrever cada termo da soma usando a relação entre e :
Isso porque:
Portanto:

Passo 4

Vamos substituir cada termo da soma usando essa relação:
Observamos que muitos termos se cancelam quando somamos:
Simplificando, restam apenas:

Resposta

Portanto, provamos que:

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Prove, para n in N, as seguintes proposições: 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n^2
Prove, usando indução, que o número de diagonais, dn, de um polígono convexo de n lados é dado pela expressão:
d_n = n(n-3)/2, para n ≥ 3
Prove, para n in N, as seguintes proposições: 1/(1.3) + 1/(3.5) + ... + 1/((2n-1)(2n+1)) = n/(2n+1)
Prove, para n in N, as seguintes proposições: 1/(1.5) + 1/(5.9) + 1/(9.13) + ... + 1/((4n-3)(4n+1)) = n/(4n+1)