Prove, para
, as seguintes proposições:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que, para qualquer número natural
, a soma
é igual a
. Vamos usar conceitos de frações parciais e séries telescópicas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender cada termo da soma. Cada fração tem a forma
, onde
vai de 1 até
. Para facilitar a soma, vamos decompor essa fração em frações parciais.
Passo 3
Para decompor
, procuramos números
e
tais que:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores, temos:
Passo 4
Agora, vamos resolver para
e
. Expandindo:
Para que isso seja verdadeiro para todo
, os coeficientes de
e o termo constante devem ser iguais:
Resolvendo o sistema:
Substituindo na segunda equação:
Então, a decomposição fica:
Passo 5
Agora, vamos substituir essa decomposição na soma original:
Podemos fatorar o
:
Passo 6
Observamos que a soma é telescópica, ou seja, muitos termos se cancelam. Vamos expandir os primeiros termos para ver:
Notamos que
cancela com
,
com
, e assim por diante, restando apenas:
Passo 7
Simplificando essa expressão:
Resposta
Portanto, provamos que:
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Prove, para
, as seguintes proposições:
Prove, para
, as seguintes proposições:
Prove, para
, as seguintes proposições:
Prove que, se
é um inteiro maior do que 1, então temos: