Prove, para n in N, as seguintes proposições: 1/(1.3) + 1/(3.5) + ... + 1/((2n-1)(2n+1)) = n/(2n+1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que, para qualquer número natural , a soma é igual a . Vamos usar conceitos de frações parciais e séries telescópicas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender cada termo da soma. Cada fração tem a forma , onde vai de 1 até . Para facilitar a soma, vamos decompor essa fração em frações parciais.

Passo 3

Para decompor , procuramos números e tais que:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores, temos:

Passo 4

Agora, vamos resolver para e . Expandindo:
Para que isso seja verdadeiro para todo , os coeficientes de e o termo constante devem ser iguais:
Resolvendo o sistema:
Substituindo na segunda equação:
Então, a decomposição fica:

Passo 5

Agora, vamos substituir essa decomposição na soma original:
Podemos fatorar o :

Passo 6

Observamos que a soma é telescópica, ou seja, muitos termos se cancelam. Vamos expandir os primeiros termos para ver:
Notamos que cancela com , com , e assim por diante, restando apenas:

Passo 7

Simplificando essa expressão:

Resposta

Portanto, provamos que:

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Prove, para n in N, as seguintes proposições: 1.1! + 2.2! + 3.3! + ... + n * n! = (n + 1)! - 1
Prove, para n in N, as seguintes proposições: 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n^2
Prove, para n in N, as seguintes proposições: 1/(1.5) + 1/(5.9) + 1/(9.13) + ... + 1/((4n-3)(4n+1)) = n/(4n+1)
Prove que, se n é um inteiro maior do que 1, então temos:
1 * 3 * 5 * ... * (2 n - 1) < n^n