Um circuito R L tem uma f.e.m. dada (em volts) por V(t) = 4 sen t, resistência de 100 Omega, indutância de 4 H e corrente inicial zero. Determine a corrente no instante t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre um circuito que combina resistência ® e indutância (L), conhecido como circuito RL. A gente precisa descobrir a corrente no circuito em um determinado instante de tempo . Para isso, vamos usar conceitos de eletricidade, especificamente sobre como resistores e indutores se comportam em circuitos com corrente alternada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que está acontecendo no circuito. A força eletromotriz (f.e.m.) é dada por volts. Isso significa que a tensão está variando com o tempo de forma senoidal. Temos uma resistência de e uma indutância de . A corrente inicial no circuito é zero, ou seja, no tempo , a corrente .

Passo 3

Agora, vamos montar a equação que relaciona a tensão, a resistência e a indutância no circuito RL. A lei de Kirchhoff nos diz que a soma das quedas de tensão nos elementos do circuito é igual à f.e.m. aplicada:
Aqui, é a queda de tensão na indutância e é a queda na resistência.

Passo 4

Vamos substituir os valores conhecidos na equação:
Simplificando dividindo todos os termos por 4:

Passo 5

Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolvê-la, vamos usar o método do fator integrante. A equação está na forma:
O fator integrante é dado por:

Passo 6

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
O lado esquerdo é a derivada do produto :

Passo 7

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Vamos resolver a integral . Essa é uma integral que pode ser resolvida usando a técnica de integração por partes ou reconhecendo a forma padrão. O resultado é:
Simplificando:

Passo 9

Substituindo de volta na equação:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 10

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar a constante :

Passo 11

Substituindo de volta na expressão da corrente:
Podemos simplificar:

Resposta

A corrente no instante é dada por:

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