Um circuito
tem uma f.e.m. dada (em volts) por
sen
, resistência de
, indutância de 4 H e corrente inicial zero. Determine a corrente no instante
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre um circuito que combina resistência ® e indutância (L), conhecido como circuito RL. A gente precisa descobrir a corrente no circuito em um determinado instante de tempo
. Para isso, vamos usar conceitos de eletricidade, especificamente sobre como resistores e indutores se comportam em circuitos com corrente alternada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que está acontecendo no circuito. A força eletromotriz (f.e.m.) é dada por
volts. Isso significa que a tensão está variando com o tempo de forma senoidal. Temos uma resistência de
e uma indutância de
. A corrente inicial no circuito é zero, ou seja, no tempo
, a corrente
.
Passo 3
Agora, vamos montar a equação que relaciona a tensão, a resistência e a indutância no circuito RL. A lei de Kirchhoff nos diz que a soma das quedas de tensão nos elementos do circuito é igual à f.e.m. aplicada:
Aqui,
é a queda de tensão na indutância e
é a queda na resistência.
Passo 4
Vamos substituir os valores conhecidos na equação:
Simplificando dividindo todos os termos por 4:
Passo 5
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolvê-la, vamos usar o método do fator integrante. A equação está na forma:
O fator integrante
é dado por:
Passo 6
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
O lado esquerdo é a derivada do produto
:
Passo 7
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Vamos resolver a integral
. Essa é uma integral que pode ser resolvida usando a técnica de integração por partes ou reconhecendo a forma padrão. O resultado é:
Simplificando:
Passo 9
Substituindo de volta na equação:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 10
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Passo 11
Substituindo
de volta na expressão da corrente:
Podemos simplificar:
Resposta
A corrente no instante
é dada por: