Prove que não existe o menor número real positivo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz para provar que não existe o menor número real positivo. Isso está ligado ao estudo dos números reais e suas propriedades, especialmente como eles se comportam em relação a números menores. Para resolver isso, vamos usar um argumento de contradição, que é basicamente assumir que algo é verdadeiro e mostrar que isso leva a uma conclusão impossível.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir o contrário do que queremos provar. Ou seja, vamos imaginar que existe um menor número real positivo, que chamaremos de .

Passo 3

Se é o menor número real positivo, então qualquer número positivo deve ser maior ou igual a . Mas agora, pensemos em metade desse número, ou seja, . Esse número também é positivo porque a metade de um número positivo continua sendo positivo.

Passo 4

Veja o que acontece: é um número real positivo menor que , porque dividir por 2 reduz o valor. Isso é um problema porque assumimos que era o menor número real positivo, mas encontramos outro número positivo menor que ele. Isso é uma contradição!

Resposta

Portanto, nossa hipótese inicial de que existe um menor número real positivo leva a uma contradição. Logo, não existe o menor número real positivo.

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