Seja
uma função definida nos inteiros positivos, onde
é o número
arredondado para baixo. Prove que
para todo inteiro
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida para números inteiros positivos:
Nosso objetivo é provar que para todo inteiro
,
. Para isso, vamos usar princípios de recorrência e propriedades dos logaritmos.
Passo 2
Vamos começar observando o caso base, ou seja, quando
.
Quando
:
E queremos verificar se:
Sabemos que
, então:
Isso é verdade, então o caso base está confirmado.
Passo 3
Agora, assumimos que a afirmação é verdadeira para algum inteiro
, ou seja, assumimos que:
Esse é o nosso passo de indução. Agora, precisamos mostrar que isso implica que a afirmação também é verdadeira para
, ou seja:
Passo 4
Vamos analisar
:
Dependendo se
é par ou ímpar,
será
ou
. Mas, para simplificar, vamos considerar que
é
, onde
.
Pelo passo de indução:
Passo 5
Substituindo essa desigualdade na expressão de
:
Sabemos que
, então:
Simplificando:
Passo 6
Agora, utilizamos a propriedade dos logaritmos que diz
. Substituindo:
Distribuindo:
Os termos
e
se cancelam:
Resposta
Assim, mostramos que se
, então
. Pelo princípio da indução matemática, concluímos que para todo inteiro
,
.
Exercícios relacionados
21.
Seja
um inteiro maior do que um. Prove que, se
não é divisível por nenhum número primo menor ou igual à sua raiz quadrada, então
é primo.
Prove que não existe o menor número real positivo.
Calcule: