Prove $|x+y|=|x|+|y| \Leftrightarrow x y \supsetneqq 0 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que se e somente se . Aqui, estamos trabalhando com propriedades de valor absoluto, que fazem parte da matéria de Álgebra. Para resolver isso, vamos precisar entender como os valores absolutos funcionam e as condições em que a igualdade ocorre.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quando a igualdade acontece. O valor absoluto de um número representa a distância desse número até zero na reta numérica. Quando somamos dois números, a distância total será igual à soma das distâncias individuais se e somente se ambos tiverem o mesmo sinal (ambos positivos ou ambos negativos).

Passo 3

Vamos assumir que e têm o mesmo sinal. Se ambos forem positivos, então e , o que satisfaz a igualdade. Se ambos forem negativos, e , que também são iguais. Portanto, se (ambos positivos ou ambos negativos), a igualdade é verdadeira.

Passo 4

Agora, vamos provar o inverso: se , então . Suponha que e não tenham o mesmo sinal. Sem perda de generalidade, digamos que e . Então, será menor que , já que você está subtraindo uma quantidade. Isso viola a igualdade, então a única possibilidade é que e tenham o mesmo sinal, ou seja, .

Resposta

Portanto, se e somente se .

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