Prove $|x+y|=|x|+|y| \Leftrightarrow x y \supsetneqq 0 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que
se e somente se
. Aqui, estamos trabalhando com propriedades de valor absoluto, que fazem parte da matéria de Álgebra. Para resolver isso, vamos precisar entender como os valores absolutos funcionam e as condições em que a igualdade ocorre.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quando a igualdade
acontece. O valor absoluto de um número representa a distância desse número até zero na reta numérica. Quando somamos dois números, a distância total será igual à soma das distâncias individuais se e somente se ambos tiverem o mesmo sinal (ambos positivos ou ambos negativos).
Passo 3
Vamos assumir que
e
têm o mesmo sinal. Se ambos forem positivos, então
e
, o que satisfaz a igualdade. Se ambos forem negativos,
e
, que também são iguais. Portanto, se
(ambos positivos ou ambos negativos), a igualdade
é verdadeira.
Passo 4
Agora, vamos provar o inverso: se
, então
. Suponha que
e
não tenham o mesmo sinal. Sem perda de generalidade, digamos que
e
. Então,
será menor que
, já que você está subtraindo uma quantidade. Isso viola a igualdade, então a única possibilidade é que
e
tenham o mesmo sinal, ou seja,
.
Resposta
Portanto,
se e somente se
.