Prove que, se
é um número primo, então ele não pode ser escrito como a diferença dos quadrados de dois naturais não-consecutivos.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. A questão diz: “Prove que, se
é um número primo, então ele não pode ser escrito como a diferença dos quadrados de dois naturais não-consecutivos.” Aqui, estamos lidando com teoria dos números, especificamente com propriedades dos números primos e diferenças de quadrados. Para resolver isso, vamos precisar usar a fatoração de expressões algébricas e as propriedades dos números primos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como se escreve a diferença de dois quadrados. Se temos dois números naturais
e
, a diferença dos seus quadrados é:
Essa expressão pode ser fatorada da seguinte maneira:
Passo 3
Agora, suponha que
seja um número primo que pode ser escrito como a diferença dos quadrados de dois naturais não-consecutivos. Então, podemos escrever:
Como
é primo, os únicos fatores positivos de
são 1 e ele mesmo. Então, temos duas possibilidades para os fatores
e
:
-
e -
e
Passo 4
Vamos analisar a primeira possibilidade:
Somando essas duas equações:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Isso significa que
e
são números consecutivos, já que
.
Passo 5
Agora, vamos considerar a segunda possibilidade:
Somando essas duas equações:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Aqui,
seria um número negativo, o que não é possível já que estamos lidando com números naturais. Portanto, essa possibilidade não é válida.
Passo 6
Conclusão: A única maneira de expressar
como a diferença de dois quadrados é quando os números são consecutivos. Portanto, se os números não são consecutivos, não é possível escrever
dessa forma.
Resposta
Portanto, se
é um número primo, ele não pode ser escrito como a diferença dos quadrados de dois números naturais não-consecutivos.
Exercícios relacionados
Prove que se
e
são inteiros pares,
é divisível por 4 .
Encontrando termos de uma sequência
Cada um dos Exercícios 1-6 dá uma fórmula para o -ésimo termo
de uma sequência
. Encontre os valores de
e
.
Cada um dos Exercícios 1-6 dá uma fórmula para o
Unscramble the sentences:
a) a/movie/ her/ cleaned/and/She/ house/ watched
a) a/movie/ her/ cleaned/and/She/ house/ watched
Prove que
para todo inteiro
.