Prove a partir da definição de limite que:
a) lim x 3(x+6)=9

Passo 1

Então, a gente tem que provar que o limite de quando se aproxima de 3 é igual a 9. Vamos usar a definição de limite para isso. Basicamente, precisamos mostrar que, conforme chega perto de 3, o valor de fica cada vez mais próximo de 9.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da definição de limite. Dizemos que:
limx to a f(x) = L
significa que para todo , existe um tal que, se , então .
No nosso caso, , e .

Passo 3

Vamos aplicar a definição. Queremos que:
| (x + 6) - 9 | < epsilon
Simplificando isso:
|x - 3| < epsilon
Isso mostra que se escolhermos , sempre que , teremos .

Passo 4

Então, basicamente, dada qualquer pequena margem de erro , podemos escolher igual a para garantir que esteja dentro dessa margem em relação a 9 quando estiver perto de 3.

Resposta

limx 3(x+6) = 9

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Para cada item abaixo, determine um valor delta > 0 (em função de epsilon ) que torne a implicação verdadeira: |x-2|<delta => |f(x)-5|<epsilon, onde f(x) = 2 x + 1
Para quais valores delta > 0 são verdadeiras as afirmações: |x-2| < delta => |f(x) - 5| < 0.1, onde f(x) = 2 x + 1
Prove a partir da definição de limite que: lim x 3 4=4
Prove pela definição que as seguintes funções são contínuas nos pontos especificados: f(x) = 5x - 2 em x = 1