Prove as propriedades da probabilidade apresentadas anteriormente.

Passo 1

Então, a gente vai provar as propriedades básicas da probabilidade que a gente já viu antes. Basicamente, a gente vai checar se as regras que a probabilidade segue estão certinhas. Para isso, vamos precisar lembrar o que é probabilidade e algumas das suas principais regras, como a soma das probabilidades dos eventos mutuamente exclusivos ser igual à soma das probabilidades individuais.

Passo 2

Primeiro, vamos ver que a probabilidade de qualquer evento 0 <= P(A) <= 1 está sempre entre 0 e 1. Isso faz sentido porque a probabilidade é uma medida de chance, e não pode ser menor que 0 (impossível) nem maior que 1 (certeza).
Matematicamente, isso é:

Passo 3

Agora, vamos provar isso. Pelo conceito de probabilidade, P(A) = Número de resu representa a razão entre o número de resultados favoráveis ao evento e o número total de resultados possíveis no espaço amostral .
Então:
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Como tanto o numerador quanto o denominador são números não negativos e o numerador nunca pode ser maior que o denominador, a raz��o fica entre 0 e 1.

Passo 4

A segunda propriedade que vamos provar é que a probabilidade do espaço amostral completo P(S) = 1 é 1. Isso significa que, quando consideramos todos os possíveis resultados, a chance de algum deles acontecer é certa, ou seja, 100%.

Passo 5

Para provar isso, lembre que o espaço amostral P(S) = 1 inclui todos os possíveis resultados de um experimento. Portanto, a soma das probabilidades de todos os eventos em deve ser 1.
Como é o conjunto de todos os eventos possíveis, a probabilidade de ocorrer algum desses eventos é certa, então:

Passo 6

Outra propriedade importante é a da soma das probabilidades de eventos mutuamente exclusivos. Se dois eventos P(A cup B) = P(A) + P(B) e não podem ocorrer ao mesmo tempo (mutuamente exclusivos), a probabilidade de ou acontecer é simplesmente a soma das probabilidades individuais.

Passo 7

Para ver isso na prática, imagine que você tem uma moeda justa. O evento P(A) = 0,5 é “dar cara” e o evento P(B) = 0,5 é “dar coroa”. Esses eventos são mutuamente exclusivos porque não podem acontecer ao mesmo tempo.
Sabemos que:
P(A cup B) = P(A) + P(B) = 0,5 + 0,5 = 1
Então:
Isso confirma que a soma das probabilidades é igual a 1, como esperado.

Passo 8

Por fim, vamos lembrar da propriedade complementar. A probabilidade de um evento P(A) = 1 - P(A) não ocorrer é igual a 1 menos a probabilidade de ocorrer.

Passo 9

Vamos provar isso. Se P(A) = 1 - P(A) ocorre com probabilidade , então a chance de não ocorrer é justamente o que resta para totalizar 1.
Então:
Isso faz sentido porque as duas situações (ocorrer ou não ocorrer) são complementares e juntas somam 100%.

Resposta

Prontinho! A gente provou que:
  1. Se e são mutuamente exclusivos, então

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