Seja X uma variável aleatória contínua tal que X sim N(100 ; 100), calcule:
a) P(X<115).

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a probabilidade , onde é uma variável aleatória contínua que segue uma distribuição normal, ou seja, . Aqui, o número 100 representa a média ( ) e o segundo 100 representa a variância ( ) da distribuição. Para resolver esse problema, vamos precisar entender como trabalhar com distribuições normais e como calcular probabilidades usando a tabela da distribuição normal padrão.

Passo 2

Primeiro, precisamos padronizar a variável Z = X - musigma para transformar nossa distribuição normal em uma distribuição normal padrão, que tem média 0 e variância 1. A fórmula para padronizar é:
Onde:
  • é a variável padronizada,
  • é o valor da variável aleatória,
  • é a média da distribuição,
  • é o desvio padrão da distribuição.

Passo 3

Vamos substituir os valores que temos na fórmula. Sabemos que sigma = raiz100 = 10 e Z = 115 - 10010 = 1510 = 1,5 , então o desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
Agora, substituindo :

Passo 4

Com o valor de P(Z < 1,5) approx 0,9332 , agora precisamos encontrar a probabilidade na tabela da distribuição normal padrão. A tabela nos dá a área sob a curva da distribuição normal até o valor de .
Consultando a tabela ou usando uma calculadora de distribuição normal, encontramos que:

Resposta

Portanto, a probabilidade é aproximadamente 93,32%.

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