Seja uma variável aleatória contínua tal que , calcule:
a) .

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a probabilidade , onde é uma variável aleatória contínua que segue uma distribuição normal, ou seja, . Aqui, o número 100 representa a média ( ) e o segundo 100 representa a variância ( ) da distribuição. Para resolver esse problema, vamos precisar entender como trabalhar com distribuições normais e como calcular probabilidades usando a tabela da distribuição normal padrão.

Passo 2

Primeiro, precisamos padronizar a variável para transformar nossa distribuição normal em uma distribuição normal padrão, que tem média 0 e variância 1. A fórmula para padronizar é:
Onde:
  • é a variável padronizada,
  • é o valor da variável aleatória,
  • é a média da distribuição,
  • é o desvio padrão da distribuição.

Passo 3

Vamos substituir os valores que temos na fórmula. Sabemos que e , então o desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
Agora, substituindo :

Passo 4

Com o valor de , agora precisamos encontrar a probabilidade na tabela da distribuição normal padrão. A tabela nos dá a área sob a curva da distribuição normal até o valor de .
Consultando a tabela ou usando uma calculadora de distribuição normal, encontramos que:

Resposta

Portanto, a probabilidade é aproximadamente 93,32%.

Exercícios relacionados

Seja uma variável aleatória contínua tal que . Calcule as seguintes probabilidades:
c) .
Prove as propriedades da probabilidade apresentadas anteriormente.
Os depósitos efetuados em um certo banco durante o mês de janeiro são distribuídos normalmente, com média de e desvio padrão . Um depósito é selecionado ao acaso dentre todos os referentes ao mês em questão. Calcule a probabilidade de que o depósito seja
a) ou menos.
Os depósitos efetuados em um certo banco durante o mês de janeiro são distribuídos normalmente, com média de e desvio padrão . Um depósito é selecionado ao acaso dentre todos os referentes ao mês em questão. Calcule a probabilidade de que o depósito seja
e) um valor entre e .