Determine as equações paramétricas da reta tangente à curva dada pelas equações paramétricas, no ponto P0 especificado: x = sen(pi t), y = raiz(t), z = cos(pi t).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que precisamos fazer aqui é encontrar as equações paramétricas da reta tangente à curva que é definida por , , e , no ponto especificado. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo como derivadas e vetores tangentes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o ponto na curva. Supondo que corresponde a um valor específico de , digamos , onde é conhecido. Para encontrar as coordenadas de , substituímos nas equações da curva:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o vetor tangente à curva no ponto . Para isso, calculamos as derivadas das funções , e em relação a :
Essas derivadas nos dão as componentes do vetor tangente no ponto :

Passo 4

Com o vetor tangente e as coordenadas de , podemos escrever as equações paramétricas da reta tangente. A forma geral das equações paramétricas de uma reta que passa pelo ponto e tem direção é:
Onde é o parâmetro da reta tangente.

Passo 5

Substituindo os valores que encontramos:
Essas são as equações paramétricas da reta tangente à curva no ponto .

Resposta

As equações paramétricas da reta tangente à curva no ponto são:
Onde é o parâmetro da reta tangente.

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