Prove as seguintes propriedades de adição, subtração, multiplicação e divisão de números reais. Justifique cada igualdade ou implicação que utilizar. e (Lei do Cancelamento do Produto).

Passo 1

Vamos lá! O enunciado quer que a gente prove a Lei do Cancelamento do Produto. Essa lei diz que se você tem uma igualdade da forma e não é zero ( ), então podemos concluir que . Para provar isso, vamos usar algumas regras básicas da álgebra, como a propriedade distributiva e a identidade do número 1.

Passo 2

Primeiro, a gente tem a igualdade . Queremos isolar e para compará-los diretamente.

Passo 3

Como , sabemos que ele tem um inverso multiplicativo, ou seja, existe um número que multiplicado por dá 1. Esse inverso é .

Passo 4

Vamos multiplicar ambos os lados da igualdade por para “cancelar” o . Assim:

Passo 5

Aplicando a propriedade associativa da multiplicação, podemos reescrever:

Passo 6

Sabemos que . Então:

Passo 7

E, claro, qualquer número multiplicado por 1 é ele mesmo:

Resposta

Portanto, provamos que se e , então necessariamente , confirmando a Lei do Cancelamento do Produto.

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.
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