Prove as seguintes propriedades de adição, subtração, multiplicação e divisão de números reais. Justifique cada igualdade ou implicação que utilizar. x * y = x * z e x ≠ 0 → y = z (Lei do Cancelamento do Produto).

Passo 1

Vamos lá! O enunciado quer que a gente prove a Lei do Cancelamento do Produto. Essa lei diz que se você tem uma igualdade da forma e x não é zero ( x != 0), então podemos concluir que . Para provar isso, vamos usar algumas regras básicas da álgebra, como a propriedade distributiva e a identidade do número 1.

Passo 2

Primeiro, a gente tem a igualdade . Queremos isolar y e z para compará-los diretamente.

Passo 3

Como x != 0, sabemos que ele tem um inverso multiplicativo, ou seja, existe um número que multiplicado por x dá 1. Esse inverso é 1/x.

Passo 4

Vamos multiplicar ambos os lados da igualdade por 1/x para “cancelar” o x. Assim:

Passo 5

Aplicando a propriedade associativa da multiplicação, podemos reescrever:

Passo 6

Sabemos que . Então:

Passo 7

E, claro, qualquer número multiplicado por 1 é ele mesmo:

Resposta

Portanto, provamos que se e x != 0, então necessariamente , confirmando a Lei do Cancelamento do Produto.

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