Prove as seguintes propriedades de adição, subtração, multiplicação e divisão de números reais. Justifique cada igualdade ou implicação que utilizar. (-x) * (-y) = x * y Dica: trabalhe com a soma (-x) * (-y) + [-(x * y)], usando o item (iii).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que o produto de dois números negativos resulta em um número positivo, ou seja, mostrar que . Para isso, vamos usar as propriedades básicas de adição e multiplicação de números reais, especialmente a distributiva e a existência de inversos. Vamos precisar entender como os sinais funcionam na multiplicação e como manipular expressões algébricas.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar a expressão que a dica sugeriu: . Nosso objetivo é simplificar essa soma e mostrar que ela é igual a zero, o que nos ajudará a provar a relação desejada.

Passo 3

Vamos calcular :
Aqui, usamos a propriedade de que , portanto .

Passo 4

A soma que fizemos resultou em zero:
Isso significa que é o inverso de , ou seja:

Resposta

Portanto, provamos que .

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