Prove as seguintes propriedades de adição, subtração, multiplicação e divisão de números reais. Justifique cada igualdade ou implicação que utilizar.
Dica: trabalhe com a soma
, usando o item (iii).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que o produto de dois números negativos resulta em um número positivo, ou seja, mostrar que
. Para isso, vamos usar as propriedades básicas de adição e multiplicação de números reais, especialmente a distributiva e a existência de inversos. Vamos precisar entender como os sinais funcionam na multiplicação e como manipular expressões algébricas.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar a expressão que a dica sugeriu:
. Nosso objetivo é simplificar essa soma e mostrar que ela é igual a zero, o que nos ajudará a provar a relação desejada.
Passo 3
Vamos calcular
:
Aqui, usamos a propriedade de que
, portanto
.
Passo 4
A soma que fizemos resultou em zero:
Isso significa que
é o inverso de
, ou seja:
Resposta
Portanto, provamos que
.