Os Exercícios 5-8 fornecem os vetores posição de partículas que se movem ao longo de diversas curvas no plano
. Em cada caso, encontre os vetores velocidade e aceleração da partícula nos instantes indicados e esboce-os como vetores na curva.
Movimento na parábola
Movimento na parábola
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar os vetores velocidade e aceleração de uma partícula que se move ao longo de uma parábola no plano
. A curva é dada pela função posição
. Precisamos calcular esses vetores nos tempos
,
e
. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo vetorial, especialmente derivadas de funções vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são os vetores posição, velocidade e aceleração. O vetor posição
nos dá a posição da partícula no plano
em qualquer instante
. A velocidade
é a taxa de variação da posição em relação ao tempo, ou seja, é a derivada do vetor posição em relação a
. Já a aceleração
é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo, ou seja, é a derivada do vetor velocidade em relação a
.
Matematicamente:
Passo 3
Vamos calcular a velocidade
tirando a derivada de
em relação a
:
Derivando cada componente:
Então,
Agora, vamos calcular
para cada valor de
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 4
Agora que temos a velocidade, vamos calcular a aceleração , que é a derivada da velocidade em relação a
. Lembrando que:
Derivando cada componente:
Então,
Isso significa que a aceleração é constante e aponta na direção positiva de
com magnitude
para todos os valores de
.
Passo 5
Vamos verificar a aceleração nos tempos específicos:
- Para
, e , como a aceleração é constante:
Passo 6
Por fim, para esboçar os vetores velocidade e aceleração na curva, você pode seguir estes passos:
- Desenhe a parábola
no plano . - Marque os pontos correspondentes a
, e usando a função posição . - Em cada ponto, desenhe o vetor velocidade
e o vetor aceleração com suas direções e magnitudes calculadas anteriormente.
Lembre-se que a velocidade vai variar dependendo do tempo, enquanto a aceleração permanece constante.
Resposta
Os vetores velocidade e aceleração da partícula nos instantes indicados são:
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
Exercícios relacionados
Prove as seguintes propriedades de adição, subtração, multiplicação e divisão de números reais. Justifique cada igualdade ou implicação que utilizar.
Dica: trabalhe com a soma
, usando o item (iii).
Prove as seguintes propriedades de adição, subtração, multiplicação e divisão de números reais. Justifique cada igualdade ou implicação que utilizar.
e
(Lei do Cancelamento do Produto).
Conforme mencionado no texto, a reta tangente a uma curva suave
em
é a reta que passa pelo ponto
paralela a
, o vetor velocidade da curva em
. Nos Exercícios 19-22, encontre equações paramétricas para a reta que é tangente à curva determinada no valor dado do parâmetro
.
Os Exercícios 5-8 fornecem os vetores posição de partículas que se movem ao longo de diversas curvas no plano
. Em cada caso, encontre os vetores velocidade e aceleração da partícula nos instantes indicados e esboce-os como vetores na curva.
Movimento no círculo
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