Os Exercícios 5-8 fornecem os vetores posição de partículas que se movem ao longo de diversas curvas no plano x y. Em cada caso, encontre os vetores velocidade e aceleração da partícula nos instantes indicados e esboce-os como vetores na curva.
Movimento na parábola y = x^2 + 1
r(t)=t i+(t^2+1) j ; t=-1,0 e 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar os vetores velocidade e aceleração de uma partícula que se move ao longo de uma parábola no plano xy. A curva é dada pela função posição . Precisamos calcular esses vetores nos tempos , e . Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo vetorial, especialmente derivadas de funções vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são os vetores posição, velocidade e aceleração. O vetor posição r(t) nos dá a posição da partícula no plano xy em qualquer instante t. A velocidade v(t) é a taxa de variação da posição em relação ao tempo, ou seja, é a derivada do vetor posição em relação a t. Já a aceleração a(t) é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo, ou seja, é a derivada do vetor velocidade em relação a t.
Matematicamente:

Passo 3

Vamos calcular a velocidade v(t) tirando a derivada de r(t) em relação a t:
Derivando cada componente:
Então,
Agora, vamos calcular v(t) para cada valor de t:
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 4

Agora que temos a velocidade, vamos calcular a aceleração , que é a derivada da velocidade em relação a . Lembrando que:
t
Derivando cada componente:
Então,
Isso significa que a aceleração é constante e aponta na direção positiva de com magnitude y para todos os valores de .

Passo 5

Vamos verificar a aceleração nos tempos específicos:
  • Para , e , como a aceleração é constante:

Passo 6

Por fim, para esboçar os vetores velocidade e aceleração na curva, você pode seguir estes passos:
  1. Desenhe a parábola no plano xy.
  2. Marque os pontos correspondentes a , e usando a função posição r(t).
  3. Em cada ponto, desenhe o vetor velocidade v(t) e o vetor aceleração a(t) com suas direções e magnitudes calculadas anteriormente.
Lembre-se que a velocidade vai variar dependendo do tempo, enquanto a aceleração permanece constante.

Resposta

Os vetores velocidade e aceleração da partícula nos instantes indicados são:
  • Para :
  • Para :
  • Para :

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