Conforme mencionado no texto, a reta tangente a uma curva suave em é a reta que passa pelo ponto paralela a , o vetor velocidade da curva em . Nos Exercícios 19-22, encontre equações paramétricas para a reta que é tangente à curva determinada no valor dado do parâmetro .
Passo 1
Beleza, galera! O que a gente tem aqui é um exercício de geometria analítica envolvendo curvas no espaço. A gente vai trabalhar com uma curva definida por uma função vetorial e precisamos encontrar as equações paramétricas da reta tangente a essa curva no ponto correspondente a . Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar a reta tangente a uma curva usando derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o ponto na curva quando . Isso significa que vamos substituir por 0 na função :
Então, o ponto é .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o vetor velocidade da curva no ponto . O vetor velocidade é a derivada da função em relação a , ou seja, .
Vamos derivar cada componente de :
Agora, substituímos :
Então, o vetor velocidade é .
Passo 4
Com o ponto da curva e o vetor direção , podemos escrever as equações paramétricas da reta tangente. As equações paramétricas de uma reta no espaço são dadas por:
Onde é um ponto na reta e é o vetor direção. é o parâmetro.
Passo 5
Substituindo os valores que encontramos:
Ponto:
Vetor direção:
As equações paramétricas ficam:
Simplificando:
Resposta
As equações paramétricas da reta tangente à curva em são: