Conforme mencionado no texto, a reta tangente a uma curva suave r(t) = f(t) i + g(t) j + h(t) k em t = t0 é a reta que passa pelo ponto f(t0), g(t0), h(t0) paralela a v(t0), o vetor velocidade da curva em t0. Nos Exercícios 19-22, encontre equações paramétricas para a reta que é tangente à curva determinada no valor dado do parâmetro t = t0.
r(t) = sen(t) i + (t^2 - cos(t)) j + e^t k, t0 = 0

Passo 1

Beleza, galera! O que a gente tem aqui é um exercício de geometria analítica envolvendo curvas no espaço. A gente vai trabalhar com uma curva definida por uma função vetorial e precisamos encontrar as equações paramétricas da reta tangente a essa curva no ponto correspondente a . Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar a reta tangente a uma curva usando derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o ponto na curva quando . Isso significa que vamos substituir por 0 na função :
Então, o ponto é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o vetor velocidade da curva no ponto . O vetor velocidade é a derivada da função em relação a , ou seja, .
Vamos derivar cada componente de :
Agora, substituímos :
Então, o vetor velocidade é .

Passo 4

Com o ponto da curva e o vetor direção , podemos escrever as equações paramétricas da reta tangente. As equações paramétricas de uma reta no espaço são dadas por:
Onde é um ponto na reta e é o vetor direção. é o parâmetro.

Passo 5

Substituindo os valores que encontramos:
  • Ponto:
  • Vetor direção:
As equações paramétricas ficam:
Simplificando:

Resposta

As equações paramétricas da reta tangente à curva em são:

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