Prove que
é uma transformação linear:
definida por
.
Passo 1
Então, temos o seguinte problema: Precisamos provar que a transformação
, definida por
, é uma transformação linear. Para fazer isso, vamos usar os conceitos de transformações lineares, que envolvem verificar se
preserva as operações de adição de vetores e multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma função
é linear se, para quaisquer vetores
e
e para qualquer escalar
, as seguintes duas propriedades forem verdadeiras:
- Adição:
- Escalar:
Vamos verificar essas duas propriedades para a transformação
.
Passo 3
Primeiro, vamos verificar a propriedade de adição. Seja
e
. Então, a soma
.
Aplicando
na soma:
Simplificando:
Agora, aplicamos
individualmente e depois somamos:
Como
, a propriedade de adição está satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar a propriedade de escalar. Seja
um escalar e
. Então,
.
Aplicando
em
:
Como
, a propriedade de escalar também está satisfeita.
Resposta
Portanto,
é uma transformação linear.