Prove que é uma transformação linear: definida por .
Passo 1
Então, temos o seguinte problema: Precisamos provar que a transformação , definida por , é uma transformação linear. Para fazer isso, vamos usar os conceitos de transformações lineares, que envolvem verificar se preserva as operações de adição de vetores e multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma função é linear se, para quaisquer vetores e e para qualquer escalar , as seguintes duas propriedades forem verdadeiras:
Adição:
Escalar:
Vamos verificar essas duas propriedades para a transformação .
Passo 3
Primeiro, vamos verificar a propriedade de adição. Seja e . Então, a soma .
Aplicando na soma:
Simplificando:
Agora, aplicamos individualmente e depois somamos:
Como , a propriedade de adição está satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar a propriedade de escalar. Seja um escalar e . Então, .
Aplicando em :
Como , a propriedade de escalar também está satisfeita.