Prove que T é uma transformação linear: T: R^3 R^2 definida por T(x, y, z)=(x-z, 2 x+y+3 z).

Passo 1

Então, temos o seguinte problema: Precisamos provar que a transformação , definida por , é uma transformação linear. Para fazer isso, vamos usar os conceitos de transformações lineares, que envolvem verificar se preserva as operações de adição de vetores e multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma função é linear se, para quaisquer vetores e e para qualquer escalar , as seguintes duas propriedades forem verdadeiras:
  1. Adição:
  2. Escalar:
Vamos verificar essas duas propriedades para a transformação .

Passo 3

Primeiro, vamos verificar a propriedade de adição. Seja T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) = ((x1 + x2) - (z1 + z2), 2(x1 + x2) + (y1 + y2) + 3(z1 + z2)) e = (x1 + x2 - z1 - z2, 2x1 + 2x2 + y1 + y2 + 3z1 + 3z2) . Então, a soma T(u) + T(v) = (x1 - z1, 2x1 + y1 + 3z1) + (x2 - z2, 2x2 + y2 + 3z2) .
Aplicando = (x1 - z1 + x2 - z2, 2x1 + y1 + 3z1 + 2x2 + y2 + 3z2) na soma:
= (x1 + x2 - z1 - z2, 2x1 + 2x2 + y1 + y2 + 3z1 + 3z2)
Simplificando:
Agora, aplicamos individualmente e depois somamos:
Como , a propriedade de adição está satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a propriedade de escalar. Seja T(cu) = T(cx, cy, cz) = (cx - cz, 2cx + cy + 3cz) um escalar e = c(x - z, 2x + y + 3z) . Então, = cT(u) .
Aplicando em :
Como , a propriedade de escalar também está satisfeita.

Resposta

Portanto, é uma transformação linear.

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