Use o teorema de existência para determinar
tal que o sistema
seja (a) Compatível e determinado;(b) Compatível e indeterminado;© Incompatível.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um sistema de equações lineares com duas equações e duas incógnitas:
O que precisamos fazer é usar o teorema da existência para descobrir quais valores de
fazem com que esse sistema seja:
(a) Compatível e determinado;
(b) Compatível e indeterminado;
© Incompatível.
Para resolver isso, vamos precisar entender como se determina se um sistema de equações é compatível ou não, e se é determinado ou indeterminado. A chave aqui é o determinante da matriz dos coeficientes do sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes do sistema:
O determinante dessa matriz, que chamaremos de
, é calculado assim:
O determinante nos diz muito sobre o sistema:
- Se
, o sistema é compatível e determinado (tem uma única solução). - Se
, o sistema pode ser compatível e indeterminado (infinitas soluções) ou incompatível (sem solução), dependendo dos termos independentes.
Passo 3
Vamos resolver parte (a) primeiro: determinar para quais valores de
o sistema é compatível e determinado.
Para isso, queremos que
.
Então, para todos os valores de
exceto
e
, o sistema será compatível e determinado.
Passo 4
Agora, vamos para a parte (b): determinar para quais valores de
o sistema é compatível e indeterminado.
Para que isso aconteça, precisamos que
e que os termos independentes sejam proporcionais aos coeficientes, ou seja, que as equações não sejam independentes.
Primeiro, impomos
:
Agora, verificamos se os termos independentes também satisfazem a proporcionalidade. Vamos analisar para
e
separadamente.
Para
:
As equações ficam:
Multiplicando a segunda equação por 2:
Comparando com a primeira equação
, vemos que
. Isso significa que para
, o sistema é incompatível.
Para
:
As equações ficam:
Multiplicando a segunda equação por 2:
Somando com a primeira equação:
Isso indica que as duas equações são equivalentes, ou seja, há infinitas soluções. Portanto, para
, o sistema é compatível e indeterminado.
Passo 5
Finalmente, para a parte ©: determinar para quais valores de
o sistema é incompatível.
Como vimos anteriormente, quando
, mesmo com
, as equações não são proporcionais nos termos independentes, resultando em um sistema sem solução.
Resposta
(a) Para todo
, exceto
e
, o sistema é compatível e determinado.
(b) Para
, o sistema é compatível e indeterminado.
© Para
, o sistema é incompatível.
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.
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e
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