Use o teorema de existência para determinar lambda in R tal que o sistema
l lambda x+4 y=4 x+lambda y=-2
seja (a) Compatível e determinado;(b) Compatível e indeterminado;© Incompatível.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um sistema de equações lineares com duas equações e duas incógnitas:
l lambda x + 4 y = 4 x + lambda y = -2
O que precisamos fazer é usar o teorema da existência para descobrir quais valores de lambda fazem com que esse sistema seja:
(a) Compatível e determinado;
(b) Compatível e indeterminado;
© Incompatível.
Para resolver isso, vamos precisar entender como se determina se um sistema de equações é compatível ou não, e se é determinado ou indeterminado. A chave aqui é o determinante da matriz dos coeficientes do sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes do sistema:
A = lambda & 4 1 & lambda
O determinante dessa matriz, que chamaremos de De, é calculado assim:
De
O determinante nos diz muito sobre o sistema:
  • Se De, o sistema é compatível e determinado (tem uma única solução).
  • Se De, o sistema pode ser compatível e indeterminado (infinitas soluções) ou incompatível (sem solução), dependendo dos termos independentes.

Passo 3

Vamos resolver parte (a) primeiro: determinar para quais valores de lambda o sistema é compatível e determinado.
Para isso, queremos que De.
lambda^2 - 4 neq 0 lambda^2 neq 4 lambda neq pm 2
Então, para todos os valores de lambda exceto lambda = 2 e lambda = -2, o sistema será compatível e determinado.

Passo 4

Agora, vamos para a parte (b): determinar para quais valores de lambda o sistema é compatível e indeterminado.
Para que isso aconteça, precisamos que De e que os termos independentes sejam proporcionais aos coeficientes, ou seja, que as equações não sejam independentes.
Primeiro, impomos De:
lambda^2 - 4 = 0 lambda^2 = 4 lambda = pm 2
Agora, verificamos se os termos independentes também satisfazem a proporcionalidade. Vamos analisar para lambda = 2 e lambda = -2 separadamente.
Para lambda = 2:
As equações ficam:
2x + 4y = 4 x + 2y = -2
Multiplicando a segunda equação por 2:
2x + 4y = -4
Comparando com a primeira equação 2x + 4y = 4, vemos que 4 neq -4. Isso significa que para lambda = 2, o sistema é incompatível.
Para lambda = -2:
As equações ficam:
-2x + 4y = 4 x - 2y = -2
Multiplicando a segunda equação por 2:
2x - 4y = -4
Somando com a primeira equação:
(-2x + 4y) + (2x - 4y) = 4 + (-4) 0 = 0
Isso indica que as duas equações são equivalentes, ou seja, há infinitas soluções. Portanto, para lambda = -2, o sistema é compatível e indeterminado.

Passo 5

Finalmente, para a parte ©: determinar para quais valores de lambda o sistema é incompatível.
Como vimos anteriormente, quando lambda = 2, mesmo com De, as equações não são proporcionais nos termos independentes, resultando em um sistema sem solução.

Resposta

(a) Para todo lambda in R, exceto lambda = 2 e lambda = -2, o sistema é compatível e determinado.
(b) Para lambda = -2, o sistema é compatível e indeterminado.
© Para lambda = 2, o sistema é incompatível.

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